Questão 8. Analise algébrica e geometricamente e encontre justificativas para o comportamento do Método de Newton quando aplicado à equação:
p_{3}(x)=-0.5 x^{3}+2.5 x=0
nos seguintes casos:
a) x_{0}=1 e x_{0}=-1
b) x_{0} nos intervalos:
( -2.236067977,-1.290994449 )
(-1.290994449, 1)
(-1,1)
(1, 1.290994449)
(1.290994449, 2.236067977)
x_{0}<-2.236067977
x_{0}>2.236067977

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
p_{3}(x)=-0{,}5x^{3}+2{,}5x
e pede para analisar algebricamente e geometricamente o comportamento do Método de Newton aplicado à equação \,p_{3}(x)=0 para várias escolhas de x_{0}. Foram fornecidos pontos e intervalos especiais (observe os números): \pm 1, \pm 1{,}290994449 (que é \pm\sqrt{5/3}) e \pm 2{,}236067977 (que é \pm\sqrt{5}).
Informações relevantes extraídas do enunciado (listei porque elas vão guiar a análise):
p_{3}(x)=-0{,}5x^{3}+2{,}5x.
As quantidades numéricas importantes (vou usar as formas raiz, porque ficam mais claras):
\sqrt{5}\approx 2{,}236067977,\qquad \sqrt{\tfrac{5}{3}}\approx 1{,}290994449.
O enunciado pede comportamento de Newton para:
a) x_{0}=1 e x_{0}=-1.
b) x_{0} nos intervalos (na ordem dada):
(-\sqrt{5}, -\sqrt{5/3}), (- \sqrt{5/3}, 1), (-1,1), (1,\sqrt{5/3}), (\sqrt{5/3},\sqrt{5}), x_{0}<-\sqrt{5}, x_{0}>\sqrt{5}.

Passo 2

Primeiro: repasso o Método de Newton e faço a álgebra explícita do mapa de Newton para este polinômio (isso é padrão e é muito útil no raciocínio).
  • Regra do Método de Newton para uma função f: a iteração é
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Aqui f=p_{3}.
  • Calculo p_{3}'(x) (derivada):
p_{3}'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-0{,}5x^{3}+2{,}5x\bigr)=-1{,}5x^{2}+2{,}5.
Observação: Onde p_{3}'(x)=0 a iteração de Newton está mal definida (a reta tangente é horizontal e a fórmula divide por zero). Vamos resolver
-1{,}5x^{2}+2{,}5=0\quad\Rightarrow\quad x^{2}=\frac{2{,}5}{1{,}5}=\frac{5}{3}\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{\tfrac{5}{3}}.
Esses são exatamente os pontos numericamente indicados \pm 1{,}290994449.

Passo 3

Vou obter a forma explícita do mapa de Newton N(x) para este polinômio — isso facilita a análise global (fixpoints, assíntotas, sinais, etc.).
Aplicando a fórmula:
N(x)=x-\frac{p_{3}(x)}{p_{3}'(x)}=x-\frac{-0{,}5x^{3}+2{,}5x}{-1{,}5x^{2}+2{,}5}.
Fatorando e simplificando a fração (faço passo a passo):
\frac{-0{,}5x^{3}+2{,}5x}{-1{,}5x^{2}+2{,}5} =\frac{x(-0{,}5x^{2}+2{,}5)}{-1{,}5x^{2}+2{,}5}.
Multiplicando numerador e denominador por -2 (ou reorganizando) dá uma forma mais simples:
\frac{-0{,}5x^{2}+2{,}5}{-1{,}5x^{2}+2{,}5}=\frac{x^{2}-5}{3x^{2}-5}
(feito com cuidado: -0{,}5x^{2}+2{,}5 = -0{,}5(x^{2}-5) e -1{,}5x^{2}+2{,}5 = -0{,}5(3x^{2}-5), os -0{,}5 cancelam). Assim
N(x)=x - x\cdot\frac{x^{2}-5}{3x^{2}-5} = x\left(1-\frac{x^{2}-5}{3x^{2}-5}\right) = x\cdot\frac{2x^{2}}{3x^{2}-5}.
Finalmente:
\boxed{\,N(x)=\frac{2x^{3}}{3x^{2}-5}\,}
Essa fórmula é central: com ela dá para ver comportamento global, sinais, assíntotas e fixed points.

Passo 4

Análise imediata da fórmula N(x)=\dfrac{2x^{3}}{3x^{2}-5}.
  • Pontos fixos de N (soluções de N(x)=x) correspondem às raízes de p_{3}. Resolvo N(x)=x:
\frac{2x^{3}}{3x^{2}-5}=x \quad\Rightarrow\quad 2x^{3}=x(3x^{2}-5)\quad\Rightarrow\quad x(x^{2}-5)=0.
Então os pontos fixos são x=0 e x=\pm\sqrt{5}. Ou seja, exatamente as raízes do polinômio (todas simples).
  • Assíntotas verticais: quando 3x^{2}-5=0, isto é x=\pm\sqrt{5/3}. Nesses pontos N não está definido (divide por zero) e as imagens tendem a \pm\infty ao nos aproximarmos lateralmente.
  • Sinal de N(x): como N(x)=\dfrac{2x^{3}}{3x^{2}-5}, o sinal depende do sinal de x^{3} e do sinal de 3x^{2}-5. Em particular, para 0<|x|<\sqrt{5/3} o denominador é negativo, logo N(x) tem sinal oposto ao sinal de x. Para |x|>\sqrt{5/3} o denominador é positivo, logo N(x) tem o mesmo sinal de x.
  • Comportamento assintótico: para |x| muito grande,
N(x)\sim \frac{2x^{3}}{3x^{2}}=\frac{2}{3}x.
Portanto para valores grandes o mapa é aproximadamente multiplicação por 2/3 (contrai a magnitude), o que faz que iterações iniciadas em valores muito grandes vão diminuir de magnitude e entrar na região onde podem convergir a uma das raízes (não vão “explodir”).

Passo 5

Análise geométrica e especialidades que aparecem aqui (isto é importante para justificar o comportamento pedido).
  • As raízes reais são 0 e \pm\sqrt{5}. Todas são raízes simples (portanto atraentes localmente pelo Método de Newton — a convergência local é quadrática).
  • Pontos onde p_{3}'(x)=0 (ou seja x=\pm\sqrt{5/3}) são pontos onde a tangente é horizontal. Geometricamente, se você escolher x_{0} muito próximo de um ponto onde a derivada é zero, a próxima iteração pode saltar para um valor muito grande (próximo de \pm\infty) — isso corresponde às assíntotas verticais de N(x).
  • Há um comportamento especial nos pontos x=\pm 1. Vou calcular explicitamente:
N(1)=\frac{2\cdot 1^{3}}{3\cdot 1^{2}-5}=\frac{2}{3-5}=\frac{2}{-2}=-1.
Como N é ímpar (o polinômio é ímpar), N(-1)=-N(1)=1. Assim temos
1\mapsto -1\mapsto 1\mapsto -1\cdots
ou seja, 1 e -1 formam um ciclo de período 2. Geometricamente isso significa que a reta tangente em x=1 corta o eixo x exatamente em -1 e vice-versa; Newton fica “preso” alternando entre esses dois pontos — portanto não converge.

Passo 6

Agora eu classifico, com justificativa, o comportamento para cada caso pedido. Para cada intervalo eu tomo um ponto representativo e uso a fórmula de N(x) e o raciocínio dos sinais/assíntotas para justificar a convergência.
a) Casos isolados
  • x_{0}=1. Já calculei: N(1)=-1 e N(-1)=1. Logo a iteração entra num ciclo de período 2: não converge a nenhuma raiz, fica alternando entre 1 e -1. Geometria: a tangente em x=1 corta o eixo em -1.
  • x_{0}=-1. Simétrico: fica no ciclo -1\mapsto 1\mapsto -1\cdots.
b) Intervalos (vou analisar em simetria à direita; o comportamento à esquerda é o mesmo com sinal oposto, porque p_{3} e N são ímpares).
  1. x_{0}\in\bigl(-\sqrt{5},-\sqrt{5/3}\bigr) (isto é (-2{,}236\ldots,\,-1{,}2909\ldots)).
    Escolha representativa x_{0}=-2. Calculo
N(-2)=\frac{2(-2)^{3}}{3(-2)^{2}-5}=\frac{-16}{12-5}=\frac{-16}{7}\approx -2{,}2857.
Esse valor está um pouco além de -\sqrt{5} (mais negativo), mas a sequência entra numa região de valores negativos com magnitude reduzida gradualmente (o mapa para grandes magnitudes aproxima-se de multiplicar por 2/3) e tende para a raiz negativa -\sqrt{5}. Portanto, para qualquer x_{0} nesse intervalo a iteração converge para -\sqrt{5}.
  1. x_{0}\in\bigl(-\sqrt{5/3},1\bigr) (isto é (-1{,}2909\ldots,\,1)).
    Esse intervalo contém duas sub-regiões com comportamentos distintos (é importante separar):
  • Subintervalo (-1{,}2909\ldots,-1): por simetria com o caso positivo abaixo, pontos aqui tendem para +\sqrt{5}. Ex.: x_{0}=-1{,}2 N(-1{,}2)=-N(1{,}2) e N(1{,}2) foi um número grande positivo que em iterações posteriores tende para +\sqrt{5}. Logo pontos em (-1{,}2909\ldots,-1) convergem para +\sqrt{5}.
  • Subintervalo (-1,1): aqui a situação é diferente (veja próximo item). Portanto vou separar isso como pediram.
  1. x_{0}\in(-1,1).
    Escolha representativa x_{0}=0{,}5. Já calculei antes:
N(0{,}5)\approx -0{,}0588,
e a iteração rapidamente tende para 0. Em geral, para x_{0} com |x_{0}|<1 (mas não igual a \pm 1) a sequência de Newton converge para 0. Geometria/intuição: quando |x|<\sqrt{5/3} o denominador de N é negativo, então N(x) troca o sinal; para |x|<1 a magnitude do termo resultante é pequena, e as iterações rapidamente são atraídas por 0. Conclusão: para todo x_{0}\in(-1,1) (exceto os pontos \pm 1 que não estão aí) a iteração converge para 0.
  1. x_{0}\in(1,\sqrt{5/3}) (isto é (1,\,1{,}2909\ldots)).
    Escolha representativa x_{0}=1{,}1. Calculei:
N(1{,}1)\approx -1{,}943,
ou seja, o primeiro passo manda para um valor negativo com magnitude entre \sqrt{5} e \sqrt{5/3} (na prática a sequência segue para a raiz negativa). Logo para x_{0} neste intervalo a iteração vai para -\sqrt{5} (note a troca de sinal causada por denominar negativo quando |x|<\sqrt{5/3}). Em resumo: pontos ligeiramente maiores que 1 saltam para negativo e convergem para -\sqrt{5}.
  1. x_{0}\in(\sqrt{5/3},\sqrt{5}) (isto é (1{,}2909\ldots,\,2{,}236\ldots)).
    Escolha representativa x_{0}=1{,}5. Já calculei a cadeia aproximada:
1{,}5 \mapsto 3{,}857 \mapsto 2{,}896 \mapsto 2{,}408 \mapsto 2{,}253 \mapsto \cdots\to \sqrt{5}.
Portanto para qualquer x_{0} neste intervalo a iteração converge para +\sqrt{5}. Intuição: para |x|>\sqrt{5/3} o denominador é positivo, então sinais são preservados; valores nessa faixa são puxados monotonicamente para a raiz mais próxima de mesmo sinal, que é +\sqrt{5}.
  1. x_{0}<-\sqrt{5}.
    Escolha representativa x_{0}=-3. Calculando:
N(-3)\approx -2{,}4545,\quad N(-2{,}4545)\approx -2{,}30,\\ \ldots \to -\sqrt{5}.
Para valores com grande magnitude e sinal negativo, N(x) tende a reduzir a magnitude (fator assintótico 2/3) e a sequência aproxima-se de -\sqrt{5}. Portanto para todo x_{0}<-\sqrt{5} a iteração converge para -\sqrt{5}.
  1. x_{0}>\sqrt{5}.
    Por simetria, para x_{0} positivo com magnitude grande, a iteração reduz a magnitude e a sequência converge para +\sqrt{5}. Ex.: x_{0}=3 deu N(3)\approx 2{,}4545 e depois aproxima-se de 2{,}236\ldots. Logo para x_{0}>\sqrt{5} a iteração converge para +\sqrt{5}.

Passo 7

Resumo das observações cruciais (motivos concisos por trás dos resultados):
  • As separações importantes na reta são x= \pm 1, x=\pm\sqrt{5/3} (onde p' se anula e N tem assíntotas), e x=\pm\sqrt{5} (raízes).
  • x=\pm 1 formam um ciclo de período 2 porque N(1)=-1 e N(-1)=1.
  • Para |x|<1 (exceto \pm 1) a iteração converge para 0.
  • Para 1<|x|<\sqrt{5/3} o sinal da imagem é trocado (porque denom. é negativo), fazendo com que pontos em (1,\sqrt{5/3}) sejam enviados para negativos que caem na basina de -\sqrt{5} e simetricamente para o lado negativo.
  • Para |x|>\sqrt{5/3} os sinais são preservados; pontos nessa região com sinal positivo vão para +\sqrt{5} e com sinal negativo para -\sqrt{5}.
  • Para valores muito grandes, o comportamento assintótico N(x)\sim \tfrac{2}{3}x faz com que as magnitudes diminuam até entrarem na região que leva à raiz de mesmo sinal.

Resposta

a) x_{0}=1: entra num ciclo de período 2 (não converge): 1\mapsto -1\mapsto 1\mapsto\cdots
a) x_{0}=-1: entra num ciclo de período 2 (não converge): -1\mapsto 1\mapsto -1\mapsto\cdots
b) x_{0}\in(-\sqrt{5},-\sqrt{5/3}): converge para -\sqrt{5}.
b) x_{0}\in(-\sqrt{5/3},-1): converge para +\sqrt{5}.
b) x_{0}\in(-1,1): converge para 0.
b) x_{0}\in(1,\sqrt{5/3}): converge para -\sqrt{5}.
b) x_{0}\in(\sqrt{5/3},\sqrt{5}): converge para +\sqrt{5}.
b) x_{0}<-\sqrt{5}: converge para -\sqrt{5}.
b) x_{0}>\sqrt{5}: converge para +\sqrt{5}.

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