Questão 8. Analise algébrica e geometricamente e encontre justificativas para o comportamento do Método de Newton quando aplicado à equação:
nos seguintes casos:
a)
e
b)
nos intervalos:
(
)
(-1.290994449, 1)
(-1,1)
(1, 1.290994449)
(1.290994449, 2.236067977)
a)
b)
(
(-1.290994449, 1)
(-1,1)
(1, 1.290994449)
(1.290994449, 2.236067977)
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e pede para analisar algebricamente e geometricamente o comportamento do Método de Newton aplicado à equação
para várias escolhas de
. Foram fornecidos pontos e intervalos especiais (observe os números):
,
(que é
) e
(que é
).
Informações relevantes extraídas do enunciado (listei porque elas vão guiar a análise):
Informações relevantes extraídas do enunciado (listei porque elas vão guiar a análise):
As quantidades numéricas importantes (vou usar as formas raiz, porque ficam mais claras):
O enunciado pede comportamento de Newton para:
a) e
.
b) nos intervalos (na ordem dada):
,
,
,
,
,
,
.
a)
b)
Passo 2
Primeiro: repasso o Método de Newton e faço a álgebra explícita do mapa de Newton para este polinômio (isso é padrão e é muito útil no raciocínio).
- Regra do Método de Newton para uma função
: a iteração é
Aqui
.
- Calculo
(derivada):
Observação: Onde
a iteração de Newton está mal definida (a reta tangente é horizontal e a fórmula divide por zero). Vamos resolver
Esses são exatamente os pontos numericamente indicados
.
Passo 3
Vou obter a forma explícita do mapa de Newton
para este polinômio — isso facilita a análise global (fixpoints, assíntotas, sinais, etc.).
Aplicando a fórmula:
Fatorando e simplificando a fração (faço passo a passo):
Multiplicando numerador e denominador por
(ou reorganizando) dá uma forma mais simples:
(feito com cuidado:
e
, os
cancelam). Assim
Finalmente:
Essa fórmula é central: com ela dá para ver comportamento global, sinais, assíntotas e fixed points.
Passo 4
Análise imediata da fórmula
.
- Pontos fixos de
(soluções de ) correspondem às raízes de . Resolvo :
Então os pontos fixos são
e
. Ou seja, exatamente as raízes do polinômio (todas simples).
-
Assíntotas verticais: quando
, isto é . Nesses pontos não está definido (divide por zero) e as imagens tendem a ao nos aproximarmos lateralmente. -
Sinal de
: como , o sinal depende do sinal de e do sinal de . Em particular, para o denominador é negativo, logo tem sinal oposto ao sinal de . Para o denominador é positivo, logo tem o mesmo sinal de . -
Comportamento assintótico: para
muito grande,
Portanto para valores grandes o mapa é aproximadamente multiplicação por
(contrai a magnitude), o que faz que iterações iniciadas em valores muito grandes vão diminuir de magnitude e entrar na região onde podem convergir a uma das raízes (não vão “explodir”).
Passo 5
Análise geométrica e especialidades que aparecem aqui (isto é importante para justificar o comportamento pedido).
-
As raízes reais são
e . Todas são raízes simples (portanto atraentes localmente pelo Método de Newton — a convergência local é quadrática). -
Pontos onde
(ou seja ) são pontos onde a tangente é horizontal. Geometricamente, se você escolher muito próximo de um ponto onde a derivada é zero, a próxima iteração pode saltar para um valor muito grande (próximo de ) — isso corresponde às assíntotas verticais de . -
Há um comportamento especial nos pontos
. Vou calcular explicitamente:
Como
é ímpar (o polinômio é ímpar),
. Assim temos
ou seja,
e
formam um ciclo de período
. Geometricamente isso significa que a reta tangente em
corta o eixo
exatamente em
e vice-versa; Newton fica “preso” alternando entre esses dois pontos — portanto não converge.
Passo 6
Agora eu classifico, com justificativa, o comportamento para cada caso pedido. Para cada intervalo eu tomo um ponto representativo e uso a fórmula de
e o raciocínio dos sinais/assíntotas para justificar a convergência.
a) Casos isolados
-
. Já calculei: e . Logo a iteração entra num ciclo de período : não converge a nenhuma raiz, fica alternando entre e . Geometria: a tangente em corta o eixo em . -
. Simétrico: fica no ciclo .
b) Intervalos (vou analisar em simetria à direita; o comportamento à esquerda é o mesmo com sinal oposto, porque
e
são ímpares).
-
(isto é ).
Escolha representativa. Calculo
Esse valor está um pouco além de
(mais negativo), mas a sequência entra numa região de valores negativos com magnitude reduzida gradualmente (o mapa para grandes magnitudes aproxima-se de multiplicar por
) e tende para a raiz negativa
. Portanto, para qualquer
nesse intervalo a iteração converge para
.
-
(isto é ).
Esse intervalo contém duas sub-regiões com comportamentos distintos (é importante separar):
- Subintervalo
: por simetria com o caso positivo abaixo, pontos aqui tendem para . Ex.: dá e foi um número grande positivo que em iterações posteriores tende para . Logo pontos em convergem para . - Subintervalo
: aqui a situação é diferente (veja próximo item). Portanto vou separar isso como pediram.
-
.
Escolha representativa. Já calculei antes:
e a iteração rapidamente tende para
. Em geral, para
com
(mas não igual a
) a sequência de Newton converge para
. Geometria/intuição: quando
o denominador de
é negativo, então
troca o sinal; para
a magnitude do termo resultante é pequena, e as iterações rapidamente são atraídas por
. Conclusão: para todo
(exceto os pontos
que não estão aí) a iteração converge para
.
-
(isto é ).
Escolha representativa. Calculei:
ou seja, o primeiro passo manda para um valor negativo com magnitude entre
e
(na prática a sequência segue para a raiz negativa). Logo para
neste intervalo a iteração vai para
(note a troca de sinal causada por denominar negativo quando
). Em resumo: pontos ligeiramente maiores que
saltam para negativo e convergem para
.
-
(isto é ).
Escolha representativa. Já calculei a cadeia aproximada:
Portanto para qualquer
neste intervalo a iteração converge para
. Intuição: para
o denominador é positivo, então sinais são preservados; valores nessa faixa são puxados monotonicamente para a raiz mais próxima de mesmo sinal, que é
.
-
.
Escolha representativa. Calculando:
Para valores com grande magnitude e sinal negativo,
tende a reduzir a magnitude (fator assintótico
) e a sequência aproxima-se de
. Portanto para todo
a iteração converge para
.
-
.
Por simetria, parapositivo com magnitude grande, a iteração reduz a magnitude e a sequência converge para . Ex.: deu e depois aproxima-se de . Logo para a iteração converge para .
Passo 7
Resumo das observações cruciais (motivos concisos por trás dos resultados):
- As separações importantes na reta são
, (onde se anula e tem assíntotas), e (raízes). -
formam um ciclo de período 2 porque e . - Para
(exceto ) a iteração converge para . - Para
o sinal da imagem é trocado (porque denom. é negativo), fazendo com que pontos em sejam enviados para negativos que caem na basina de e simetricamente para o lado negativo. - Para
os sinais são preservados; pontos nessa região com sinal positivo vão para e com sinal negativo para . - Para valores muito grandes, o comportamento assintótico
faz com que as magnitudes diminuam até entrarem na região que leva à raiz de mesmo sinal.
Resposta
a)
: entra num ciclo de período
(não converge):
a) : entra num ciclo de período
(não converge):
a)
b)
: converge para
.
b) : converge para
.
b) : converge para
.
b) : converge para
.
b) : converge para
.
b) : converge para
.
b) : converge para
.
b)
b)
b)
b)
b)
b)