Resolva o sistema linear pelo método iterativo de Jacobi com um máximo de 10 iterações. Utilize \mathbf{X}^{(\mathbf{0})}=\left[\begin{array}{lll}\mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0}\end{array}\right], a precisão menor que 0,01(\varepsilon<0,01). Utilize 4 casas decimais.
\left\{\begin{aligned} 10 x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3} & =28 \\\ x_{1}+10 x_{2}+6 x_{3} & =7 \\\\ 2 x_{1}-2 x_{2}-10 x_{3} & =-17\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} 10x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=28,\\[4pt] x_{1}+10x_{2}+6x_{3}=7,\\[4pt] 2x_{1}-2x_{2}-10x_{3}=-17, \end{cases}
usando o método iterativo de Jacobi com as seguintes condições: vetor inicial \mathbf{X}^{(0)}=[0\;0\;0], precisão \varepsilon<0{,}01, máximo de 10 iterações e apresentação dos resultados com 4 casas decimais. Aqui a tarefa é aplicar Jacobi, iterar até que a maior diferença absoluta entre componentes de iterações consecutivas seja menor que 0{,}01 (critério que vou usar).
Informações importantes dadas:
  • Sistema de 3 equações e 3 incógnitas (veja acima).
  • \mathbf{X}^{(0)}=\left[0\;0\;0\right].
  • Critério de parada: \max_{i}|x_i^{(k)}-x_i^{(k-1)}|<0{,}01.
  • Máximo de 10 iterações.
  • Mostrar valores com 4 casas decimais.]

Passo 2

Explicando o método de Jacobi (aula rápida, calma — eu te explico como se fosse na prova):
  • A ideia do método de Jacobi é isolar cada variável em sua equação e, em cada iteração k+1, calcular cada componente x_i^{(k+1)} usando apenas os valores da iteração anterior x_j^{(k)} para j\ne i. Ou seja, as atualizações dentro de uma mesma iteração são independentes e todas usam o vetor anterior.
  • Para aplicar, escrevemos cada variável isolada da sua equação original. Da primeira equação:
    10x_1 = 28 - 2x_2 - 3x_3 \quad\Rightarrow\quad x_1 = \frac{28-2x_2-3x_3}{10}.
    Da segunda:
    10x_2 = 7 - x_1 - 6x_3 \quad\Rightarrow\quad x_2 = \frac{7-x_1-6x_3}{10}.
    Da terceira (atenção ao sinal; vou isolar x_3):
    2x_1-2x_2-10x_3=-17 \Rightarrow -10x_3=-17-2x_1+2x_2
\Rightarrow x_3=\frac{17+2x_1-2x_2}{10}.
  • Então as fórmulas de iteração Jacobi são: x_1^{(k+1)}=\frac{28-2x_2^{(k)}-3x_3^{(k)}}{10},
x_2^{(k+1)}=\frac{7-x_1^{(k)}-6x_3^{(k)}}{10},
x_3^{(k+1)}=\frac{17+2x_1^{(k)}-2x_2^{(k)}}{10}.
  • Na prova: aplica essas fórmulas repetidamente. Para o critério de parada, como falei, uso a norma infinito (maior diferença absoluta entre componentes de iterações consecutivas).

Passo 3

Preparação para calcular as iterações: começamos com
\mathbf{X}^{(0)}=\begin{bmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{bmatrix}.
Vou calcular \mathbf{X}^{(1)},\mathbf{X}^{(2)},\dots e, a cada passo, arredondar os componentes para 4 casas decimais (como solicitado) e calcular a diferença máxima em valor absoluto entre \mathbf{X}^{(k)} e \mathbf{X}^{(k-1)}. Se essa diferença for menor que 0{,}01, paro; caso contrário, prossigo até no máximo 10 iterações.]

Passo 4

Usando as fórmulas e \mathbf{X}^{(0)}=[0,0,0]:
x_1^{(1)}=\frac{28-2\cdot0-3\cdot0}{10}=\frac{28}{10}=2{,}8 \Rightarrow 2{,}8000,
x_2^{(1)}=\frac{7-0-6\cdot0}{10}=\frac{7}{10}=0{,}7 \Rightarrow 0{,}7000,
x_3^{(1)}=\frac{17+2\cdot0-2\cdot0}{10}=\frac{17}{10}=1{,}7 \Rightarrow 1{,}7000.
Logo
\mathbf{X}^{(1)}=\begin{bmatrix}2{,}8000\\[2pt]0{,}7000\\[2pt]1{,}7000\end{bmatrix}.
Diferença máxima |\mathbf{X}^{(1)}-\mathbf{X}^{(0)}|_\infty=2{,}8000>0{,}01. Continuamos.]

Passo 5

Usando \mathbf{X}^{(1)}:
x_1^{(2)}=\frac{28-2(0{,}7000)-3(1{,}7000)}{10}=\frac{28-1{,}4-5{,}1}{10}=\frac{21{,}5}{10}=2{,}1500,
x_2^{(2)}=\frac{7-2{,}8000-6(1{,}7000)}{10}=\frac{7-2{,}8-10{,}2}{10}=\frac{-6{,}0}{10}=-0{,}6000,
x_3^{(2)}=\frac{17+2(2{,}8000)-2(0{,}7000)}{10}=\frac{17+5{,}6-1{,}4}{10}=\frac{21{,}2}{10}=2{,}1200.
Então
\mathbf{X}^{(2)}=\begin{bmatrix}2{,}1500\\[2pt]-0{,}6000\\[2pt]2{,}1200\end{bmatrix}.
Diferença máxima |\mathbf{X}^{(2)}-\mathbf{X}^{(1)}|_\infty=\max(0{,}6500,1{,}3000,0{,}4200)=1{,}3000>0{,}01. Continua.]

Passo 6

Usando \mathbf{X}^{(2)}:
x_1^{(3)}=\frac{28-2(-0{,}6000)-3(2{,}1200)}{10}=\frac{28+1{,}2-6{,}36}{10}=\frac{22{,}84}{10}=2{,}2840,
x_2^{(3)}=\frac{7-2{,}1500-6(2{,}1200)}{10}=\frac{7-2{,}15-12{,}72}{10}=\frac{-7{,}87}{10}=-0{,}7870,
x_3^{(3)}=\frac{17+2(2{,}1500)-2(-0{,}6000)}{10}=\frac{17+4{,}3+1{,}2}{10}=\frac{22{,}5}{10}=2{,}2500.
\mathbf{X}^{(3)}=\begin{bmatrix}2{,}2840\\[2pt]-0{,}7870\\[2pt]2{,}2500\end{bmatrix}.
Diferença máxima |\mathbf{X}^{(3)}-\mathbf{X}^{(2)}|_\infty=\max(0{,}1340,0{,}1870,0{,}1300)=0{,}1870>0{,}01. Continua.]

Passo 7

Usando \mathbf{X}^{(3)}:
x_1^{(4)}=\frac{28-2(-0{,}7870)-3(2{,}2500)}{10}=\frac{28+1{,}574-6{,}75}{10}=\frac{22{,}824}{10}=2{,}2824,
x_2^{(4)}=\frac{7-2{,}2840-6(2{,}2500)}{10}=\frac{7-2{,}284-13{,}5}{10}=\frac{-8{,}784}{10}=-0{,}8784,
x_3^{(4)}=\frac{17+2(2{,}2840)-2(-0{,}7870)}{10}=\frac{17+4{,}568+1{,}574}{10}=\frac{23{,}142}{10}=2{,}3142.
\mathbf{X}^{(4)}=\begin{bmatrix}2{,}2824\\[2pt]-0{,}8784\\[2pt]2{,}3142\end{bmatrix}.
Diferença máxima |\mathbf{X}^{(4)}-\mathbf{X}^{(3)}|_\infty=\max(0{,}0016,0{,}0914,0{,}0642)=0{,}0914>0{,}01. Continua.]

Passo 8

Usando \mathbf{X}^{(4)}:
x_1^{(5)}=\frac{28-2(-0{,}8784)-3(2{,}3142)}{10}=\frac{28+1{,}7568-6{,}9426}{10}=\frac{22{,}8142}{10}=2{,}2814,
x_2^{(5)}=\frac{7-2{,}2824-6(2{,}3142)}{10}=\frac{7-2{,}2824-13{,}8852}{10}=\frac{-9{,}1676}{10}=-0{,}9168,
x_3^{(5)}=\frac{17+2(2{,}2824)-2(-0{,}8784)}{10}=\frac{17+4{,}5648+1{,}7568}{10}=\frac{23{,}3216}{10}=2{,}3322.
\mathbf{X}^{(5)}=\begin{bmatrix}2{,}2814\\[2pt]-0{,}9168\\[2pt]2{,}3322\end{bmatrix}.
Diferença máxima |\mathbf{X}^{(5)}-\mathbf{X}^{(4)}|_\infty=\max(0{,}0010,0{,}0384,0{,}0180)=0{,}0384>0{,}01. Continua.]

Passo 9

Usando \mathbf{X}^{(5)}:
x_1^{(6)}=\frac{28-2(-0{,}9168)-3(2{,}3322)}{10}=\frac{28+1{,}8336-6{,}9966}{10}=\frac{22{,}8370}{10}=2{,}2837,
x_2^{(6)}=\frac{7-2{,}2814-6(2{,}3322)}{10}=\frac{7-2{,}2814-13{,}9932}{10}=\frac{-9{,}2746}{10}=-0{,}9275,
x_3^{(6)}=\frac{17+2(2{,}2814)-2(-0{,}9168)}{10}=\frac{17+4{,}5628+1{,}8336}{10}=\frac{23{,}3964}{10}=2{,}3396.
\mathbf{X}^{(6)}=\begin{bmatrix}2{,}2837\\[2pt]-0{,}9275\\[2pt]2{,}3396\end{bmatrix}.
Diferença máxima |\mathbf{X}^{(6)}-\mathbf{X}^{(5)}|_\infty=\max(0{,}0023,0{,}0107,0{,}0074)=0{,}0107>0{,}01. Ainda não satisfez o critério (note que está bem próximo).]

Passo 10

Usando \mathbf{X}^{(6)}:
x_1^{(7)}=\frac{28-2(-0{,}9275)-3(2{,}3396)}{10}=\frac{28+1{,}8550-7{,}0188}{10}=\frac{22{,}8362}{10}=2{,}2836,
x_2^{(7)}=\frac{7-2{,}2837-6(2{,}3396)}{10}=\frac{7-2{,}2837-14{,}0376}{10}=\frac{-9{,}3213}{10}=-0{,}9321,
x_3^{(7)}=\frac{17+2(2{,}2837)-2(-0{,}9275)}{10}=\frac{17+4{,}5674+1{,}8550}{10}=\frac{23{,}4224}{10}=2{,}3422.
\mathbf{X}^{(7)}=\begin{bmatrix}2{,}2836\\[2pt]-0{,}9321\\[2pt]2{,}3422\end{bmatrix}.
Agora a diferença máxima é
|\mathbf{X}^{(7)}-\mathbf{X}^{(6)}|_\infty=\max(0{,}0001,0{,}0046,0{,}0026)=0{,}0046<0{,}01.
Portanto o critério de parada ( \max diferença menor que 0{,}01) é satisfeito na iteração 7. Como isso aconteceu antes das 10 iterações, paramos aqui.]

Resposta

x_{1}=2{,}2836
x_{2}=-0{,}9321
x_{3}=2{,}3422

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