Resolva o sistema linear pelo método iterativo de Jacobi com um máximo de 10 iterações. Utilize \mathbf{X}^{(\mathbf{0})}=\left[\begin{array}{lll}\mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0}\end{array}\right], a precisão menor que 0,01(\varepsilon<0,01). Utilize 4 casas decimais. \left\{\begin{aligned} 10 x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3} & =28 \\\ x_{1}+10 x_{2}+6 x_{3} & =7 \\\\ 2 x_{1}-2 x_{2}-10 x_{3} & =-17\end{aligned}\right.
usando o método iterativo de Jacobi com as seguintes condições: vetor inicial \mathbf{X}^{(0)}=[0\;0\;0], precisão \varepsilon<0{,}01, máximo de 10 iterações e apresentação dos resultados com 4 casas decimais. Aqui a tarefa é aplicar Jacobi, iterar até que a maior diferença absoluta entre componentes de iterações consecutivas seja menor que 0{,}01 (critério que vou usar).
Informações importantes dadas:
Sistema de 3 equações e 3 incógnitas (veja acima).
\mathbf{X}^{(0)}=\left[0\;0\;0\right].
Critério de parada: \max_{i}|x_i^{(k)}-x_i^{(k-1)}|<0{,}01.
Máximo de 10 iterações.
Mostrar valores com 4 casas decimais.]
Passo 2
Explicando o método de Jacobi (aula rápida, calma — eu te explico como se fosse na prova):
A ideia do método de Jacobi é isolar cada variável em sua equação e, em cada iteração k+1, calcular cada componente x_i^{(k+1)} usando apenas os valores da iteração anterior x_j^{(k)} para j\ne i. Ou seja, as atualizações dentro de uma mesma iteração são independentes e todas usam o vetor anterior.
Para aplicar, escrevemos cada variável isolada da sua equação original. Da primeira equação:
Então as fórmulas de iteração Jacobi são:x_1^{(k+1)}=\frac{28-2x_2^{(k)}-3x_3^{(k)}}{10},
x_2^{(k+1)}=\frac{7-x_1^{(k)}-6x_3^{(k)}}{10},
x_3^{(k+1)}=\frac{17+2x_1^{(k)}-2x_2^{(k)}}{10}.
Na prova: aplica essas fórmulas repetidamente. Para o critério de parada, como falei, uso a norma infinito (maior diferença absoluta entre componentes de iterações consecutivas).
Passo 3
Preparação para calcular as iterações: começamos com
Vou calcular \mathbf{X}^{(1)},\mathbf{X}^{(2)},\dots e, a cada passo, arredondar os componentes para 4 casas decimais (como solicitado) e calcular a diferença máxima em valor absoluto entre \mathbf{X}^{(k)} e \mathbf{X}^{(k-1)}. Se essa diferença for menor que 0{,}01, paro; caso contrário, prossigo até no máximo 10 iterações.]
Diferença máxima |\mathbf{X}^{(6)}-\mathbf{X}^{(5)}|_\infty=\max(0{,}0023,0{,}0107,0{,}0074)=0{,}0107>0{,}01. Ainda não satisfez o critério (note que está bem próximo).]