Questão 2: Entre os anos 1861-1862 Maxwell publicou dois trabalhos nos quais introduziu um termo a mais na lei de Ampère (posteriormente denominada de lei de Ampère-Maxwell) chamado de “corrente de deslocamento”. Na forma diferencial:
(a) Mostre que esse termo a mais acrescentado por Maxwell pode ser justificado analisando a corrente em capacitores;
(b) Discuta sobre o porque desse novo efeito, predito por Maxwell teoricamente, não ter sido verificado inicialmente por observações experimentais;
(c) Escreva as equações de Maxwell (com a lei de Ampère generalizada) na sua forma diferencial, considerando uma região no vácuo onde não há cargas nem correntes e discuta a simetria das equações;
(d) Mostre que a partir das equações no item anterior é possível verificar que os campos elétricos e magnéticos obedecem uma equação de onda cuja velocidade é dada por
calcule o seu valor numérico e compare com a velocidade de luz no vácuo. O que é possível concluir disso?
(b) Discuta sobre o porque desse novo efeito, predito por Maxwell teoricamente, não ter sido verificado inicialmente por observações experimentais;
(c) Escreva as equações de Maxwell (com a lei de Ampère generalizada) na sua forma diferencial, considerando uma região no vácuo onde não há cargas nem correntes e discuta a simetria das equações;
(d) Mostre que a partir das equações no item anterior é possível verificar que os campos elétricos e magnéticos obedecem uma equação de onda cuja velocidade é dada por
Passo 1
O enunciado trata da correção de Maxwell à lei de Ampère, que adiciona o termo de “corrente de deslocamento”
. Vamos usar a equação da continuidade de carga para justificar esse termo em capacitores, discutir sua não observação inicial, escrever as equações de Maxwell no vácuo e derivar a equação de onda para os campos, extraindo a velocidade
.
Passo 2
Para justificar o termo extra em capacitores usamos a equação da continuidade de carga, que diz
Na região entre as placas não há corrente de condução
, mas a densidade de carga varia, pois as placas se carregam. Do teorema de Gauss temos
Substituindo na continuidade,
Para manter a consistência de
com essa divergência nula, Ampère deve incluir
.
Passo 3
Esse efeito não foi verificado experimentalmente de imediato porque o campo magnético gerado pela corrente de deslocamento entre as placas de um capacitor é extremamente pequeno e confinado a uma região bem fina. Os instrumentos da época não tinham sensibilidade ou configuração adequada para medir esse campo, de modo que o termo teórico só foi confirmado indiretamente, ao se detectar ondas eletromagnéticas.
Passo 4
Em região de vácuo sem cargas
nem correntes de condução
, as equações de Maxwell na forma diferencial ficam:
Repare que existe uma simetria de dualidade entre
e
: ambas têm divergência nula, e cada rotação gera a derivada temporal da outra.
Passo 5
Para obter a equação de onda para
, tomamos o rotacional de Faraday:
Pelo identidade vetorial
, vem
Analogamente para
. Isso é uma equação de onda com velocidade
Usando
e
,
o que coincide com a velocidade da luz
no vácuo. Concluímos que a luz é uma onda eletromagnética.
Resposta
(a) A inclusão de
permite satisfazer a equação da continuidade em capacitores.
(b) O efeito não foi medido inicialmente por ser muito fraco e confinado, além da falta de sensibilidade dos instrumentos da época.
(c) Em vácuo: ,
,
,
.
Essas equações são simétricas sob troca de .
(d) Dos campos obedece
e , igual a
: a luz é onda eletromagnética.
(b) O efeito não foi medido inicialmente por ser muito fraco e confinado, além da falta de sensibilidade dos instrumentos da época.
(c) Em vácuo:
Essas equações são simétricas sob troca de
(d) Dos campos obedece
e