Questão 3 (2,5 pontos): Sabe-se que velocidade de escape é a mínima velocidade que uma partícula possui para escapar da atração de um campo conservativo, sem usar propulsão adicional. (a) Demonstre que a velocidade de escape de um elétron inicialmente em repouso na superfície de uma esfera com raio R e carga q uniformemente distribuída vale \mathrm{v}_{\mathrm{e}}=\sqrt{\frac{2 \mathrm{Keq}}{\mathrm{mR}}},(\mathrm{K}= constante eletrostática, \mathrm{e}= carga do elétron e \mathrm{m}= massa do elétron). (b) Para \mathrm{q}=1,6 \times 10^{-15} \mathrm{Ce} \mathrm{R}=1 \mathrm{~cm} determine o valor de \mathrm{v}_{\mathrm{e}}.

Passo 1

O enunciado pede:
(a) Demonstrar que a velocidade de escape de um elétron, inicialmente em repouso na superfície de uma esfera de raio R e carga q uniformemente distribuída, é
v_{e} = \sqrt{\frac{2\,K\,q\,e}{m\,R}}.
(b) Calcular numericamente v_{e} para q = 1{,}6\times10^{-15}\,\mathrm{C} e R = 1\,\mathrm{cm}.
O conteúdo necessário é conservação da energia mecânica e energia potencial eletrostática (Lei de Coulomb).

Passo 2

Para que o elétron escape, sua energia mecânica inicial deve ser igual à energia potencial no infinito (que tomamos zero) mais energia cinética final (zero). Logo,
\frac{1}{2}\,m\,v_{e}^{2} + U(R) = 0 + 0.

Passo 3

A energia potencial eletrostática de duas cargas q (esfera) e -e (elétron) separadas por R é
U(R) = -\,\frac{K\,q\,e}{R}.
O sinal negativo indica atração, mas para escapar precisamos de energia cinética igual a -U(R).

Passo 4

Igualando
\frac{1}{2}\,m\,v_{e}^{2} = \frac{K\,q\,e}{R}
e isolando v_{e}, obtemos
v_{e} = \sqrt{\frac{2\,K\,q\,e}{m\,R}}.

Passo 5

Agora fazemos a parte (b). Usamos K = 8{,}99\times10^{9}\,\mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}, e = 1{,}60\times10^{-19}\,\mathrm{C}, m = 9{,}11\times10^{-31}\,\mathrm{kg}, q = 1{,}6\times10^{-15}\,\mathrm{C}, R = 1\,\mathrm{cm} = 1\times10^{-2}\,\mathrm{m}.
Calculando dentro da raiz:
\frac{2\,K\,q\,e}{m\,R} = \frac{2 \times 8{,}99\times10^{9} \times 1{,}6\times10^{-15} \times 1{,}60\times10^{-19}}{9{,}11\times10^{-31}\times1\times10^{-2}} \approx 5{,}05\times10^{8}.
Portanto
v_{e} \approx \sqrt{5{,}05\times10^{8}} \approx 2{,}25\times10^{4}\,\mathrm{m/s}.

Resposta

A fórmula da parte (a) é
v_{e} = \sqrt{\frac{2\,K\,q\,e}{m\,R}}.
Para os valores indicados,
v_{e} \approx 2{,}25\times10^{4}\,\mathrm{m/s}.

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