2- Sendo X(t)=A \cos ((w t)+\Theta), sendo \Theta uniformente distribuída em (-w, w). O processo é estacionário?

Passo 1

O enunciado dá a família de processos
X(t)=A\cos\bigl((\omega t)+\Theta\bigr),
onde A e \omega são constantes e \Theta é uma variável aleatória com distribuição uniforme em (-\omega,\omega). A pergunta é: o processo X(t) é estacionário?\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\begin{aligned} &\text{Processo: } X(t)=A\cos(\omega t+\Theta).\\\ &\Theta\sim\text{Uniforme}(-\omega,\omega).\\\ &\text{Queremos saber se \(X(t)\) é estacionário (em sentido amplo e/ou estrito).} \end{aligned}éá

Passo 2

Definições que vamos usar (explicadas de forma didática):
  • Estacionaridade em sentido estrito: para todo n, todo conjunto de instantes t_1,\dots,t_n e todo deslocamento \tau, a distribuição conjunta de (X(t_1+\tau),\dots,X(t_n+\tau)) é igual à distribuição conjunta de (X(t_1),\dots,X(t_n)). Ou seja, as leis probabilísticas não mudam com um deslocamento de tempo.
  • Estacionaridade em sentido amplo (ou segunda ordem, WSS): exige que a média seja constante no tempo e que a função autocovariância dependa apenas da diferença de tempo \Delta=t_2-t_1, isto é, R_X(t_1,t_2)=R_X(\Delta).
    Estratégia: é mais simples primeiro verificar estacionaridade em sentido amplo calculando a média e a autocovariância; se falhar já sabemos que não é WSS. Para a estacionaridade estrita, verificaremos a invariância da lei de \Theta sob deslocamentos de fase relevantes.

Passo 3

Cálculo da média m_X(t)=\mathbb{E}[X(t)]. Vamos calcular passo a passo:
\mathbb{E}[X(t)]=A\,\mathbb{E}\bigl[\cos(\omega t+\Theta)\bigr].
Como \Theta é uniforme em (-\omega,\omega), sua densidade é f_\Theta(\theta)=\dfrac{1}{2\omega} para \theta\in(-\omega,\omega). Então
\mathbb{E}[X(t)]=A\cdot\frac{1}{2\omega}\int_{-\omega}^{\omega}\cos(\omega t+\theta)\,d\theta.
Avaliamoa integral. Use a primitive de \cos: \int\cos(\omega t+\theta)\,d\theta=\sin(\omega t+\theta). Então
\begin{aligned} \int_{-\omega}^{\omega}\cos(\omega t+\theta)\,d\theta &=\sin(\omega t+\omega)-\sin(\omega t-\omega)\\[4pt] &=2\cos(\omega t)\sin(\omega), \end{aligned}
onde usamos a identidade \sin(a)-\sin(b)=2\cos\bigl(\tfrac{a+b}{2}\bigr)\sin\bigl(\tfrac{a-b}{2}\bigr) com a=\omega t+\omega e b=\omega t-\omega.
Substituindo de volta,
\mathbb{E}[X(t)]=A\cdot\frac{1}{2\omega}\cdot 2\cos(\omega t)\sin(\omega) = A\frac{\sin(\omega)}{\omega}\cos(\omega t).
Interpretação: a média depende de t através de \cos(\omega t), a menos que o fator \dfrac{\sin(\omega)}{\omega} seja zero.]

Passo 4

Consequência simples da média obtida:
  • Se \dfrac{\sin(\omega)}{\omega}\neq 0 então \mathbb{E}[X(t)] varia com t (é proporcional a \cos(\omega t)). Logo a média não é constante e o processo não é estacionário em sentido amplo (não é WSS). Portanto, em geral, quando \sin(\omega)\neq 0, o processo não é estacionário.
  • Quando \sin(\omega)=0 isso ocorre para \omega=k\pi com k\in\mathbb{Z}; nesses casos \mathbb{E}[X(t)]=0 (constante). Então a condição \sin(\omega)=0 é necessária para potencialmente obter WSS; precisamos então verificar a autocovariância.

Passo 5

Cálculo da autocovariância (função de segunda ordem):
R_X(t_1,t_2)=\mathbb{E}[X(t_1)X(t_2)] =A^2\mathbb{E}\bigl[\cos(\omega t_1+\Theta)\cos(\omega t_2+\Theta)\bigr].
Use a identidade produto para cossenos:
\cos u\cos v=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(u-v)+\cos(u+v)\bigr).
Com u=\omega t_1+\Theta e v=\omega t_2+\Theta temos
\begin{aligned} \cos(\omega t_1+\Theta)\cos(\omega t_2+\Theta) &=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(\omega(t_1-t_2))+\cos(\omega(t_1+t_2)+2\Theta)\bigr). \end{aligned}
Tomando esperança,
\begin{aligned} R_X(t_1,t_2) &=A^2\cdot\tfrac{1}{2}\left(\cos(\omega(t_1-t_2))+\mathbb{E}\bigl[\cos(\omega(t_1+t_2)+2\Theta)\bigr]\right). \end{aligned}
Agora calculamos \mathbb{E}[\cos(\omega(t_1+t_2)+2\Theta)]. Como antes,
\mathbb{E}[\cos(\omega(t_1+t_2)+2\Theta)] =\frac{1}{2\omega}\int_{-\omega}^{\omega}\cos(\omega(t_1+t_2)+2\theta)\,d\theta.
A integral de \cos(\cdot) em \theta dá, pela mesma técnica,
\int_{-\omega}^{\omega}\cos(\omega(t_1+t_2)+2\theta)\,d\theta =\frac{1}{2}\bigl(\sin(\omega(t_1+t_2)+2\omega)-\sin(\omega(t_1+t_2)-2\omega)\bigr) =2\cos(\omega(t_1+t_2))\sin(2\omega).
Dividindo por 2\omega,
\mathbb{E}[\cos(\omega(t_1+t_2)+2\Theta)] =\frac{\sin(2\omega)}{2\omega}\cdot 2\cos(\omega(t_1+t_2)) =\frac{\sin(2\omega)}{2\omega}\,2\cos(\omega(t_1+t_2)).
Portanto
R_X(t_1,t_2)=\frac{A^2}{2}\cos(\omega(t_1-t_2))+\frac{A^2}{2}\cdot\frac{\sin(2\omega)}{2\omega}\,2\cos(\omega(t_1+t_2)).
Simplificando o segundo termo,
R_X(t_1,t_2)=\frac{A^2}{2}\cos\bigl(\omega(t_1-t_2)\bigr)+A^2\frac{\sin(2\omega)}{2\omega}\cos\bigl(\omega(t_1+t_2)\bigr).

Passo 6

Interpretação do resultado da autocovariância:
  • O primeiro termo \dfrac{A^2}{2}\cos(\omega(t_1-t_2)) depende apenas da diferença t_1-t_2, como exigido para WSS.
  • O segundo termo A^2\dfrac{\sin(2\omega)}{2\omega}\cos(\omega(t_1+t_2)) depende de t_1+t_2, não apenas da diferença; portanto, em geral o autocovariância depende de t_1 e t_2 separadamente e não só de \Delta=t_1-t_2.
    Conclusão imediata: salvo se o coeficiente \dfrac{\sin(2\omega)}{2\omega} for zero, R_X não é função apenas da diferença e o processo não é WSS.

Passo 7

Reunindo as condições para WSS/estrita:
  • Para que a média seja constante precisamos de \sin(\omega)=0, isto é \omega=k\pi com k\in\mathbb{Z}.
  • Se \sin(\omega)=0 então automaticamente \sin(2\omega)=0 (porque \sin(2\omega)=2\sin\omega\cos\omega). Logo quando \omega=k\pi o termo que depende de t_1+t_2 desaparece e obtemos
R_X(t_1,t_2)=\frac{A^2}{2}\cos\bigl(\omega(t_1-t_2)\bigr),
que depende apenas da diferença de tempos. Assim nestes casos o processo é estacionário em sentido amplo (WSS).
  • Sobre estacionaridade estrita: quando \omega=k\pi a distribuição de \Theta é uniforme em (-\omega,\omega)=(-k\pi,k\pi). Como o comprimento do intervalo é 2\omega=2k\pi, que é múltiplo de 2\pi, a distribuição de \Theta modulo 2\pi é a distribuição uniforme no círculo; isso garante que a lei de \Theta+\omega t (mod 2\pi) é invariante por deslocamentos de t, o que implica estacionaridade estrita. Em suma, quando \omega=k\pi o processo é estacionário (estrito e em segunda ordem).
  • Casos triviais: se A=0 o processo é identicamente zero e é estacionário. Se \omega não satisfaz \sin(\omega)=0, então o processo não é estacionário (nem em sentido amplo nem estrito).

Passo 8

Intuição simples para memorizar na prova:
  • Um ruído de fase \Theta que seja “uniforme em toda a circunferência” (distribuição uniforme modulo 2\pi) faz com que o sinal A\cos(\omega t+\Theta) seja estatisticamente invariante por deslocamento de tempo → estacionário.
  • Se a distribuição de \Theta ocupa apenas um arco (não cobre todo o círculo uniformemente), a média e a covariância vão oscilar no tempo e o processo não será estacionário.
    No problema dado a uniformidade em (-\omega,\omega) só cobre a circunferência de modo uniforme exatamente quando 2\omega é múltiplo de 2\pi, i.e., quando \omega=k\pi.

Resposta

Não, em geral X(t) não é estacionário.
X(t) é estacionário (estrito e em segunda ordem) se e somente se \omega=k\pi para algum k\in\mathbb{Z} (caso particular: também é estacionário se A=0).

Exercícios relacionados