2- Sendo
, sendo
uniformente distribuída em (-w, w). O processo é estacionário?
Passo 1
O enunciado dá a família de processos
onde
e
são constantes e
é uma variável aleatória com distribuição uniforme em
. A pergunta é: o processo
é estacionário?\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Definições que vamos usar (explicadas de forma didática):
- Estacionaridade em sentido estrito: para todo
, todo conjunto de instantes e todo deslocamento , a distribuição conjunta de é igual à distribuição conjunta de . Ou seja, as leis probabilísticas não mudam com um deslocamento de tempo. - Estacionaridade em sentido amplo (ou segunda ordem, WSS): exige que a média seja constante no tempo e que a função autocovariância dependa apenas da diferença de tempo
, isto é, .
Estratégia: é mais simples primeiro verificar estacionaridade em sentido amplo calculando a média e a autocovariância; se falhar já sabemos que não é WSS. Para a estacionaridade estrita, verificaremos a invariância da lei desob deslocamentos de fase relevantes.
Passo 3
Cálculo da média
. Vamos calcular passo a passo:
Como
é uniforme em
, sua densidade é
para
. Então
Avaliamoa integral. Use a primitive de
:
. Então
onde usamos a identidade
com
e
.
Substituindo de volta,
Substituindo de volta,
Interpretação: a média depende de
através de
, a menos que o fator
seja zero.]
Passo 4
Consequência simples da média obtida:
- Se
então varia com (é proporcional a ). Logo a média não é constante e o processo não é estacionário em sentido amplo (não é WSS). Portanto, em geral, quando , o processo não é estacionário. - Quando
isso ocorre para com ; nesses casos (constante). Então a condição é necessária para potencialmente obter WSS; precisamos então verificar a autocovariância.
Passo 5
Cálculo da autocovariância (função de segunda ordem):
Use a identidade produto para cossenos:
Com
e
temos
Tomando esperança,
Agora calculamos
. Como antes,
A integral de
em
dá, pela mesma técnica,
Dividindo por
,
Portanto
Simplificando o segundo termo,
Passo 6
Interpretação do resultado da autocovariância:
- O primeiro termo
depende apenas da diferença , como exigido para WSS. - O segundo termo
depende de , não apenas da diferença; portanto, em geral o autocovariância depende de e separadamente e não só de .
Conclusão imediata: salvo se o coeficientefor zero, não é função apenas da diferença e o processo não é WSS.
Passo 7
Reunindo as condições para WSS/estrita:
- Para que a média seja constante precisamos de
, isto é com . - Se
então automaticamente (porque ). Logo quando o termo que depende de desaparece e obtemos
que depende apenas da diferença de tempos. Assim nestes casos o processo é estacionário em sentido amplo (WSS).
- Sobre estacionaridade estrita: quando
a distribuição de é uniforme em . Como o comprimento do intervalo é , que é múltiplo de , a distribuição de modulo é a distribuição uniforme no círculo; isso garante que a lei de (mod ) é invariante por deslocamentos de , o que implica estacionaridade estrita. Em suma, quando o processo é estacionário (estrito e em segunda ordem). - Casos triviais: se
o processo é identicamente zero e é estacionário. Se não satisfaz , então o processo não é estacionário (nem em sentido amplo nem estrito).
Passo 8
Intuição simples para memorizar na prova:
- Um ruído de fase
que seja “uniforme em toda a circunferência” (distribuição uniforme modulo ) faz com que o sinal seja estatisticamente invariante por deslocamento de tempo → estacionário. - Se a distribuição de
ocupa apenas um arco (não cobre todo o círculo uniformemente), a média e a covariância vão oscilar no tempo e o processo não será estacionário.
No problema dado a uniformidade emsó cobre a circunferência de modo uniforme exatamente quando é múltiplo de , i.e., quando .
Resposta
Não, em geral
não é estacionário.
é estacionário (estrito e em segunda ordem) se e somente se
para algum
(caso particular: também é estacionário se
).