Questão 5) Seja
um
-espaço vetorial e
uma transformação linear. Note que o contradomínio de T é o conjunto dos números reais. Transformações lineares cujo contradomínio é o corpo sobre o qual estamos considerando o espaço vetorial são chamadas de funcionais lineares.
De uma forma geral:
Se
é um corpo e
é um
-espaço vetirial, então uma transformação linear
é chamada de funcional linear.
Mostramos na segunda lista de exercícios que o conjunto
é uma transformação linear
é um espaço vetorial sobre
. Este espaço é denotado por
, ou seja,
a) Seja
e
. A aplicação
definida por
pertence ao conjunto
? Justifique.
b) Mostre que:
é uma transformação linear se, e somente se, existirem
tais que
De uma forma geral:
Se
Mostramos na segunda lista de exercícios que o conjunto
b) Mostre que:
Passo 1
O enunciado trabalha com o conceito de funcional linear, ou seja, uma transformação linear
cujo contradomínio é o corpo
(aqui
). Denotamos por
o espaço de todos esses funcionais. No caso em que
, queremos:
-
(a) Verificar que a aplicaçãoé de fato um funcional linear em
. -
(b) Mostrar que toda transformação linearpode ser escrita nesse formato, para certos escalares
.
Passo 2
Para (a), precisamos checar que
para quaisquer vetores
,
e escalar
. De fato,
e
Logo
é linear e, portanto,
.
Passo 3
Para (b), primeiro mostramos que qualquer funcional da forma
é linear — mas isso já fizemos em (a).
Passo 4
Agora provamos que se
é linear, então existem escalares
tais que
De fato, seja
a base canônica de
, onde
tem coordenada 1 na posição
e 0 nas outras. Defina
Como qualquer vetor
se decompõe em
pela linearidade de
temos
Isso conclui a bijecção entre funcionais lineares e somas ponderadas das coordenadas.
Resposta
(a) Sim. A aplicação
satisfaz
e
, logo é linear e pertence a
.
(b) Demonstramos que toda transformação linear
é exatamente da forma
onde
. Portanto, a condição é necessária e suficiente.