Questão 5) Seja V um R-espaço vetorial e T: V longrightarrow K uma transformação linear. Note que o contradomínio de T é o conjunto dos números reais. Transformações lineares cujo contradomínio é o corpo sobre o qual estamos considerando o espaço vetorial são chamadas de funcionais lineares.
De uma forma geral:
Se K é um corpo e V é um K-espaço vetirial, então uma transformação linear T: V longrightarrow K é chamada de funcional linear.
Mostramos na segunda lista de exercícios que o conjunto L(V, R)=T: V longrightarrow R ; T é uma transformação linear é um espaço vetorial sobre R. Este espaço é denotado por V^*, ou seja,
L(V, R)=V^*
a) Seja V=R^n e (alpha1, alpha2, ldots, alphan in R. A aplicação f: R^n longrightarrow R definida por
f(x1, x2, ldots, xn)=sumi=1^n alphai xi
pertence ao conjunto V^* ? Justifique.
b) Mostre que: T: R^n longrightarrow R é uma transformação linear se, e somente se, existirem (alpha1, alpha2, ldots, alphan in R tais que
T(x1, x2, ldots, xn)=sumi=1^n alphai xi

Passo 1

O enunciado trabalha com o conceito de funcional linear, ou seja, uma transformação linear
T:Vlongrightarrow K
cujo contradomínio é o corpo K (aqui K=R). Denotamos por
V^* = L(V,R)
o espaço de todos esses funcionais. No caso em que V=R^n, queremos:
  • (a) Verificar que a aplicação
    f(x1,dots,xn)=sumi=1^nalphai xi
    é de fato um funcional linear em R^n.
  • (b) Mostrar que toda transformação linear
    T:R^nlongrightarrowR
    pode ser escrita nesse formato, para certos escalares alpha1,dots,alphan.

Passo 2

Para (a), precisamos checar que
f(u+v)=f(u)+f(v) e f(c,u)=c,f(u)
para quaisquer vetores u=(u1,dots,un), v=(v1,dots,vn) e escalar cinR. De fato,
f(u+v) =sumi=1^nalphai,(ui+vi) =sumi=1^nalphai ui +sumi=1^nalphai vi =f(u)+f(v),
e
f(c,u) =sumi=1^nalphai,(c,ui) =csumi=1^nalphai ui =c,f(u)
Logo f é linear e, portanto, fin V^*.

Passo 3

Para (b), primeiro mostramos que qualquer funcional da forma
(x1,dots,xn)mapstosumi=1^nalphai xi
é linear — mas isso já fizemos em (a).

Passo 4

Agora provamos que se T:R^ntoR é linear, então existem escalares alpha1,dots,alphan tais que
T(x1,dots,xn)=sumi=1^nalphai xi
De fato, seja e1,dots,en a base canônica de R^n, onde ei tem coordenada 1 na posição i e 0 nas outras. Defina
alphai = T(ei), i=1,dots,n
Como qualquer vetor xinR^n se decompõe em
x = sumi=1^n xi,ei,
pela linearidade de T temos
T(x) =Tl(sumi=1^n xi,eir) =sumi=1^n xi,T(ei) =sumi=1^nalphai,xi
Isso conclui a bijecção entre funcionais lineares e somas ponderadas das coordenadas.

Resposta

(a) Sim. A aplicação
f(x1,dots,xn)=sumi=1^nalphai xi
satisfaz f(u+v)=f(u)+f(v) e f(c,u)=c,f(u), logo é linear e pertence a V^*.
(b) Demonstramos que toda transformação linear T:R^ntoR é exatamente da forma
T(x1,dots,xn)=sumi=1^nalphai xi,
onde alphai=T(ei). Portanto, a condição é necessária e suficiente.

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