Questão 2) (8 pontos)
Dado
. Pede-se:
(a) Ache a função potencial
. ( 4 pontos)
(b) O que podemos concluir sobre o campo vetorial
? ( 1 ponto )
(c) Use o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para calcular
onde
é uma “curva qualquer” que começa e termina nos pontos
e
, respectivamente. ( 3 pontos)
Dado
(a) Ache a função potencial
(b) O que podemos concluir sobre o campo vetorial
(c) Use o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para calcular
Passo 1
Neste exercício vamos trabalhar com um campo vetorial em três dimensões, procurar sua função potencial e usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para avaliar uma integral independente do caminho. Precisamos lembrar que, se um campo é gradiente de uma função, então ele é conservativo e sua integral de linha entre dois pontos depende só dos valores da potencial nesses pontos.
Passo 2
Para achar a função potencial f de F(x,y,z)=(x,y,z), usamos que ∇f=(∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z)= (x,y,z). Integrando ∂f/∂x=x em relação a x dá f(x,y,z)=
+g(y,z). Agora, igualando ∂f/∂y a y, temos ∂/∂y[
+g(y,z)]=g_y(y,z)=y, logo g(y,z)=
+h(z). Finalmente, ∂f/∂z deve ser z, e ∂/∂z[
+h(z)] = h’(z)=z, integrando h(z)=
+C. Assim
a função potencial é
a função potencial é
Passo 3
Como encontramos f tal que F=∇f, concluímos que o campo F é conservativo, ou seja, seu rotacional é nulo (
) e a integral de linha independe do caminho.
Passo 4
Para calcular
entre A=(2,0,2) e B=(0,0,2), aplicamos o Teorema Fundamental das Integrais de Linha:
Resposta
f(x,y,z)=
; o campo
é conservativo (
);
.