Questão 2) (8 pontos)
Dado F(x, y, z)=(x, y, z). Pede-se:
(a) Ache a função potencial f(x, y, z). ( 4 pontos)
(b) O que podemos concluir sobre o campo vetorial F ? ( 1 ponto )
(c) Use o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para calcular integralgamma F d gamma onde gamma é uma “curva qualquer” que começa e termina nos pontos A=(2,0,2) e B=(0,0,2), respectivamente. ( 3 pontos)

Passo 1

Neste exercício vamos trabalhar com um campo vetorial em três dimensões, procurar sua função potencial e usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para avaliar uma integral independente do caminho. Precisamos lembrar que, se um campo é gradiente de uma função, então ele é conservativo e sua integral de linha entre dois pontos depende só dos valores da potencial nesses pontos.

Passo 2

Para achar a função potencial f de F(x,y,z)=(x,y,z), usamos que ∇f=(∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z)= (x,y,z). Integrando ∂f/∂x=x em relação a x dá f(x,y,z)= x^2/2+g(y,z). Agora, igualando ∂f/∂y a y, temos ∂/∂y[ x^2/2+g(y,z)]=g_y(y,z)=y, logo g(y,z)= y^2/2+h(z). Finalmente, ∂f/∂z deve ser z, e ∂/∂z[ x^2/2+y^2/2+h(z)] = h’(z)=z, integrando h(z)= z^2/2+C. Assim
a função potencial é
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^22+C

Passo 3

Como encontramos f tal que F=∇f, concluímos que o campo F é conservativo, ou seja, seu rotacional é nulo ( ∇times F=0) e a integral de linha independe do caminho.

Passo 4

Para calcular integralgammavec F,dgamma entre A=(2,0,2) e B=(0,0,2), aplicamos o Teorema Fundamental das Integrais de Linha:

Resposta

f(x,y,z)= tfracx^2+y^2+z^22+C; o campo F é conservativo ( ∇times F=0); integralgammavec F,dgamma=f(B)-f(A)=2-4=-2.

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