Questão - 2 O
Considere a amostra de idades a seguir:
25,18,21,21,22,22,23,23,25,26,28,29,31,30,52,28,55,18,22,20,27.
Em relação a essa amostra, avalie as afirmativas a seguir.
A mediana é igual a 25.
A média é maior do que a mediana.
A moda é menor do que a mediana.

Passo 1

O enunciado nos dá a amostra de idades (vou reproduzir os dados exatamente como fornecidos):
25,18,21,21,22,22,23,23,25,26,28,29,31,30,52,28,55,18,22,20,27.
As três afirmativas a avaliar são:
  1. A mediana é igual a 25.
  2. A média é maior do que a mediana.
  3. A moda é menor do que a mediana.
Vou agora calcular passo a passo mediana, média e moda dessa amostra para poder avaliar cada afirmativa.

Passo 2

Definição e preparação para a mediana.
A mediana é o valor que fica “no meio” da amostra quando os dados estão ordenados. Se o número de observações n for ímpar, a mediana é o elemento na posição
\frac{n+1}{2}.
Primeiro precisamos ordenar os dados em ordem crescente. Vou ordenar a amostra e escrever a lista ordenada.

Passo 3

Lista ordenada (coloquei os números em ordem crescente):
18,18,20,21,21,22,22,22,23,23,25,25,26,27,28,28,29,30,31,52,55.
Contei n=21 observações (veja que 21 está dentro de \{1,2,\dots\}, ou seja número ímpar), então a mediana será o elemento na posição
\frac{n+1}{2}=\frac{21+1}{2}=\frac{22}{2}=11.

Passo 4

Cálculo da mediana: o 11-ésimo elemento da lista ordenada é o primeiro 25 da sequência. Portanto a mediana vale
\text{mediana} = 25.
Explicando com calma: como temos 21 dados, há 10 observações abaixo do 11.º e 10 acima do 11.º, logo o valor do centro é 25.

Passo 5

Definição e cálculo da média (explicando como fazer sem calculadora).
A média amostral (aritmética) é a soma dos valores dividida pelo número de observações:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Vou calcular a soma dos 21 valores. Somando os elementos da lista ordenada:
18+18+20+21+21+22+22+22+23+23+25+25+26+27+28+28+29+30+31+52+55=566.
Portanto
\bar{x}=\frac{566}{21}\approx 26,952\ldots
(para referência rápida, 21\cdot 27=567, então a média é um pouco menor que 27). Isso mostra numericamente que a média é maior que 25, mas deixo a avaliação final das afirmativas para a seção de respostas.

Passo 6

Definição e cálculo da moda.
A moda é o(s) valor(es) que aparecem com maior frequência na amostra. Vou contar as frequências (tirei os dados da lista ordenada do Passo 3):
\begin{aligned} &18\\ \text{aparece }2\\ \text{vezes},\\\ &20\\ \text{aparece }1\\ \text{vez},\\\ &21\\ \text{aparece }2\\ \text{vezes},\\\ &22\\ \text{aparece }3\\ \text{vezes},\\\ &23\\ \text{aparece }2\\ \text{vezes},\\\ &25\\ \text{aparece }2\\ \text{vezes},\\\ &26\\ \text{aparece }1\\ \text{vez},\\\ &27\\ \text{aparece }1\\ \text{vez},\\\ &28\\ \text{aparece }2\\ \text{vezes},\\\ &29,30,31,52,55\\ \text{aparecem }1\\ \text{vez cada.} \end{aligned}
A maior frequência é 3, que pertence a 22. Logo a moda única é
\text{moda}=22.

Passo 7

Resumo dos valores calculados (usados para avaliar as afirmativas):
\text{mediana}=25,\qquad \bar{x}=\frac{566}{21}\approx 26,952\ldots,\qquad \text{moda}=22.
Com esses números podemos comparar: a média é maior do que a mediana ( 26,95\ldots>25), e a moda é menor do que a mediana ( 22<25). Finalizo avaliando as três afirmativas na seção de resposta.

Resposta

Verdadeiro
Verdadeiro
Verdadeiro

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