Resolva as equações diferenciais lineares homogêneas de 2^{\mathrm{a}} ordem com coeficientes constantes.
-9 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-12 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes
-9\,y'' + 4\,y' - 12\,y = 0.
Vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução da forma y=e^{r x}. Substituindo na EDO, obtemos
-9\,r^2 + 4\,r - 12 = 0.
Multiplicando por -1, fica
9\,r^2 - 4\,r + 12 = 0.

Passo 3

Calculamos o discriminante
\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 12 = 16 - 432 = -416 < 0,
logo as raízes são complexas:
r = \frac{4 \pm \sqrt{-416}}{18} = \frac{4 \pm 4\,i\sqrt{26}}{18} = \frac{2}{9} \pm \frac{2\sqrt{26}}{9}\,i.

Passo 4

Para raízes r = \alpha \pm i\beta com \alpha = \tfrac{2}{9} e \beta = \tfrac{2\sqrt{26}}{9}, a solução geral é
y(x) = e^{\alpha x}\bigl(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x)\bigr).
Substituindo \alpha e \beta, chega-se a

Resposta

y(x) = e^{\frac{2}{9}x}\Bigl(C_1\cos\!\bigl(\tfrac{2\sqrt{26}}{9}x\bigr) + C_2\sin\!\bigl(\tfrac{2\sqrt{26}}{9}x\bigr)\Bigr),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

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