Resolva as equações diferenciais lineares homogêneas de 2^{\mathrm{a}} ordem com coeficientes constantes.
y^{\prime \prime}-3 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 3y = 0
Vamos usar o método da equação característica, que se aplica sempre que a EDO é homogênea e tem coeficientes constantes.

Passo 2

Assumimos uma solução da forma y=e^{rx}. Substituindo na equação diferencial, temos
r^2e^{rx} - 3e^{rx} = 0
Como e^{rx}\neq0, a parte que interessa é a equação característica em r:
r^2 - 3 = 0

Passo 3

Resolvendo
r^2 - 3 = 0
obtemos as raízes
r = \sqrt{3} \quad\text{e}\quad r = -\sqrt{3}.

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é dada pela combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x) = C_{1}e^{r_{1}x} + C_{2}e^{r_{2}x}.

Resposta

Substituindo r_{1}=\sqrt{3} e r_{2}=-\sqrt{3}, a solução geral fica
y(x) = C_{1}e^{\sqrt{3}\,x} + C_{2}e^{-\sqrt{3}\,x}.

Exercícios relacionados