Questão 3: Após t meses de começar a fabricação de um novo produto, são fabricadas P milhares de unidades, em que
P(t)=\frac{6 t^{2}+5 t}{(t+1)^{2}}
a) Qual a produção após 2 meses?
b) O que acontecerá com a produção a longo prazo (ou seja, para t \rightarrow \infty )?

Passo 1

O enunciado nos dá a produção em milhares de unidades após t meses pela função
P(t)=\frac{6t^{2}+5t}{(t+1)^{2}}.
Precisamos:
  1. Calcular a produção após 2 meses, ou seja, P(2).
  2. Determinar o comportamento de P(t) quando t\to\infty, isto é, \lim_{t\to\infty}P(t).

Passo 2

Para calcular P(2), substituímos t=2 em P(t):
P(2) =\frac{6\cdot2^{2}+5\cdot2}{(2+1)^{2}} =\frac{6\cdot4+10}{3^{2}} =\frac{24+10}{9} =\frac{34}{9}.
Isso significa P(2)=\frac{34}{9} milhares de unidades, ou seja, aproximadamente 3{,}78 milhares de unidades.

Passo 3

Para estudar o comportamento quando t\to\infty, analisamos o limite de uma função racional em que o grau do numerador e do denominador é igual. Dividindo numerador e denominador por t^{2},
P(t) =\frac{6+\tfrac{5}{t}}{\bigl(1+\tfrac{1}{t}\bigr)^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \lim_{t\to\infty}P(t) =\frac{6+0}{(1+0)^{2}} =6.
Portanto, para t\to\infty, P(t) tende a 6 milhares de unidades.

Resposta

(a) P(2)=\tfrac{34}{9} milhares de unidades (aprox. 3{,}78 milhares).
(b) \displaystyle\lim_{t\to\infty}P(t)=6 milhares de unidades (ou seja, 6000 unidades).

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