Questão 1:: Calcule, caso existam, os limites abaixo (Não serão aceitas soluções que usem a regra de L’Hospital):
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-e^{3 x}}{1-e^{x}};

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-e^{3x}}{1-e^{x}},
que envolve funções exponenciais. Como não podemos usar a regra de L’Hospital, vamos explorar manipulações algébricas e a continuidade de e^x.

Passo 2

Observe o numerador e o denominador separadamente e faça fatorações úteis:
– Numerador:
e^{x}-e^{3x} = e^{x}\bigl(1 - e^{2x}\bigr).
– Denominador:
1 - e^{x} = -\bigl(e^{x}-1\bigr).

Passo 3

Substituindo essas expressões na fração, vem
\frac{e^{x}-e^{3x}}{1-e^{x}} = \frac{e^{x}\bigl(1 - e^{2x}\bigr)}{-\bigl(e^{x}-1\bigr)} = \frac{e^{x}\bigl(e^{2x}-1\bigr)}{e^{x}-1}.

Passo 4

Agora fatoramos e^{2x}-1 usando a identidade de diferença de quadrados para exponenciais:
e^{2x}-1 = \bigl(e^{x}-1\bigr)\bigl(e^{x}+1\bigr).
Logo
\frac{e^{x}\bigl(e^{2x}-1\bigr)}{e^{x}-1} = e^{x}\,\frac{\bigl(e^{x}-1\bigr)\bigl(e^{x}+1\bigr)}{e^{x}-1} = e^{x}\bigl(e^{x}+1\bigr).

Passo 5

Como e^x é contínua, ao fazermos x\to0 temos e^x\to1. Assim
\lim_{x\to 0}e^{x}\bigl(e^{x}+1\bigr) = 1\cdot(1+1) = 2.

Resposta

2

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