Questão 2: Sejam a, b constantes a serem definidas. Considere f(x):=\left\{\begin{array}{lll}a x+b, & \text { se } & x<1 \\\ b x^{2}+1, & \text { se } & 1 \leq x<2 \\\ a b \sqrt{2 x}, & \text { se } & x \geq 2\end{array}\right.
Ruais os valores de a e b fazem com que \lim _{x \rightarrow 1} f(x) exista?
Determine a e b de modo que f seja, simultaneamente, contínua em x=1 e x=2.

Passo 1

O enunciado define
f(x)= \begin{cases} a x + b, & x<1,\\\ b x^{2} + 1, & 1 \le x<2,\\\ a b \sqrt{2x}, & x \ge 2. \end{cases}
Primeiro pedem os valores de a e b para que \lim_{x\to1}f(x) exista; depois, querem a,b tais que f seja contínua em x=1 e x=2.

Passo 2

Para \lim_{x\to1}f(x) existir, igualamos o limite pela esquerda e pela direita em x=1.
Pela esquerda,
\lim_{x\to1^-}f(x)=a\cdot1+b=a+b.
Pela direita,
\lim_{x\to1^+}f(x)=b\cdot1^2+1=b+1.
Portanto,
a+b=b+1 \quad\Longrightarrow\quad a=1.

Passo 3

Para que f seja contínua em x=1, basta ter a=1, pois então \lim_{x\to1}f(x)=1+b e f(1)=b+1.
Para continuidade em x=2, igualamos
\lim_{x\to2^-}f(x)=b\cdot2^2+1=4b+1
a
f(2)=a b\sqrt{2\cdot2}=2ab.
Como já sabemos a=1, ficamos com
4b+1=2b \quad\Longrightarrow\quad 2b=-1 \quad\Longrightarrow\quad b=-\tfrac12.

Resposta

a=1 para que \lim_{x\to1}f(x) exista.
Para continuidade em x=1 e x=2, a=1 e b=-\tfrac12.

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