Questão 4: Determine, caso existam, as assintotas obliquas a direita de f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+a}}{3}+\frac{x-b}{2}, x \in \mathbb{R} e a, b são constantes

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+a}}{3}+\frac{x-b}{2},\quad x\in\mathbb{R},
com a,b constantes, e pede a assíntota oblíqua à direita (isto é, quando x\to+\infty).
Conteúdo: para achar a assíntota oblíqua y=mx+n em +\infty, calculamos
m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}, \quad n=\lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)-m\,x\bigr).

Passo 2

Calcular m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}.
Escrevemos
\frac{f(x)}{x} =\frac{1}{x}\,\frac{\sqrt{x^{2}+a}}{3} +\frac{1}{x}\,\frac{x-b}{2} =\frac{1}{3}\,\frac{\sqrt{x^{2}+a}}{x}+\frac12-\frac{b}{2x}.
Como \frac{\sqrt{x^{2}+a}}{x}=\sqrt{1+\frac{a}{x^{2}}}\to1 e \frac{b}{2x}\to0, vem
m =\frac{1}{3}\cdot1+\frac12 =\frac{5}{6}.

Passo 3

Calcular n=\lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)-m\,x\bigr).
Usamos expansão assintótica da raiz grande:
\sqrt{x^{2}+a} =x\sqrt{1+\frac{a}{x^{2}}} =x\Bigl(1+\frac{a}{2x^{2}}+o(x^{-2})\Bigr) =x+\frac{a}{2x}+o(x^{-1}).
Logo
f(x) =\frac{x+\tfrac{a}{2x}+o(x^{-1})}{3}+\frac{x-b}{2} =\frac{x}{3}+\frac{a}{6x}+o(x^{-1})+\frac{x}{2}-\frac{b}{2} =\frac{5}{6}x-\frac{b}{2}+\frac{a}{6x}+o(x^{-1}).
Subtraindo m\,x=\tfrac{5}{6}x e fazendo x\to+\infty, o termo \tfrac{a}{6x}+o(x^{-1})\to0, então
n =\lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)-\tfrac{5}{6}x\bigr) =-\frac{b}{2}.

Resposta

A assíntota oblíqua à direita é
\boxed{y=\frac{5}{6}\,x-\frac{b}{2}}.

Exercícios relacionados