Questão 4- (Apostila FM)- Sobre a equação irracional \sqrt{x^{2}+1}=x-1, é correto afirmar que:
a) Não possui raízes reais.
b) Possui apenas uma raiz real.
c) Possui duas raízes reais e distintas.
d) É equivalente a uma equação do 2^{\circ} grau.
e) É equivalente a uma equação do 1^{\circ} grau.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a equação irracional
\sqrt{x^{2}+1} = x - 1
e determinar quantas raízes reais ela possui. O conteúdo necessário é a resolução de equações que envolvem radical: primeiro identificamos o domínio, depois isolamos o radical, elevamos ao quadrado cuidando de possíveis soluções extranas e, por fim, conferimos quais satisfazem o domínio.

Passo 2

Como \sqrt{x^{2}+1} está sempre definida para todo x\in\mathbb{R} e seu valor é não negativo, a igualdade
\sqrt{x^{2}+1} = x - 1
só pode ocorrer quando o lado direito também for não negativo. Logo, exigimos
x - 1 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x \ge 1.

Passo 3

Elevando ambos os lados da equação ao quadrado (válido desde que respeitemos o domínio x\ge1), obtemos:
x^{2} + 1 = (x - 1)^{2}
x^{2} + 1 = x^{2} - 2x + 1.
Simplificando, fica
x^{2} + 1 - x^{2} + 2x - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 0.

Passo 4

Verificamos se x=0 satisfaz o domínio x\ge1. Como 0<1, essa solução é extranha (não vale para a equação original).
Não resta nenhuma outra solução no domínio x\ge1. Concluímos que a equação não possui raízes reais.

Resposta

a) Não possui raízes reais.

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