Questão 4. (2,0) (a) Aproxime a soma da série
usando a soma dos 8 primeiros termos e estime o erro envolvido nessa aproximação.
(b) Quantos termos são necessários para garantir que a soma tenha precisão de 0,0001 ?
(b) Quantos termos são necessários para garantir que a soma tenha precisão de 0,0001 ?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a série de termo geral
:
- Aproximar a soma infinita
pelo somatório parcial dos 8 primeiros termos e estimar o erro dessa aproximação.
2. Determinar quantos termos são necessários para que o erro seja no máximo .
Para isso vamos usar o teste da integral (ou critério da integral) que, para séries com termo positivo e decrescente, dá o limite superior do resto pela integral imprópria correspondente.
2. Determinar quantos termos são necessários para que o erro seja no máximo
Para isso vamos usar o teste da integral (ou critério da integral) que, para séries com termo positivo e decrescente, dá o limite superior do resto pela integral imprópria correspondente.
Passo 2
Calcular o somatório parcial dos 8 primeiros termos:
Passo 3
Estimar o erro
usando o teste da integral:
Passo 4
Portanto, ao usar
como aproximação, temos
com erro garantido menor que
.
Passo 5
Para garantir erro
basta exigir
Logo precisamos de
termos.
Resposta
(a)
, erro
.
(b) São necessários termos.
(b) São necessários