Questão 4. (2,0) (a) Aproxime a soma da série
sumn=1^infty 1n^2
usando a soma dos 8 primeiros termos e estime o erro envolvido nessa aproximação.
(b) Quantos termos são necessários para garantir que a soma tenha precisão de 0,0001 ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a série de termo geral an=1/n^2:
  1. Aproximar a soma infinita
sumn=1^infty1n^2
pelo somatório parcial dos 8 primeiros termos e estimar o erro dessa aproximação.
2. Determinar quantos termos são necessários para que o erro seja no máximo 0,0001.
Para isso vamos usar o teste da integral (ou critério da integral) que, para séries com termo positivo e decrescente, dá o limite superior do resto pela integral imprópria correspondente.

Passo 2

Calcular o somatório parcial dos 8 primeiros termos:
S8=sumn=1^81n^2 =1+14+19+116+125+136+149+164 approx1,527422

Passo 3

Estimar o erro R8=sumn=9^infty1/n^2 usando o teste da integral:
R8<=integral8^inftydxx^2 =l[-1xr]8^infty =18 =0,125

Passo 4

Portanto, ao usar S8 como aproximação, temos
sumn=1^infty1n^2approx S8=1,527422
com erro garantido menor que 0,125.

Passo 5

Para garantir erro <=0,0001 basta exigir
integralN^inftydxx^2=1N<=0,0001 Longrightarrow N>=10000
Logo precisamos de 10000 termos.

Resposta

(a) S8approx1,527422, erro <0,125.
(b) São necessários 10000 termos.

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