Seja F(t)=f(2 t+3, t^3), onde f=f(u, v) é uma função real de duas variáveis reais diferenciável em R^2.
Determine partial Fpartial t(1), sabendo que partial fpartial u(5,1)=-2 e partial fpartial v(5,1)=2.

Passo 1

O enunciado define
F(t)=fl(2t+3,;t^3r)
onde f(u,v) é diferenciável em R^2, e pede partial Fpartial t(1). O que vamos usar é a regra da cadeia para derivar uma função composta de duas variáveis.

Passo 2

Definimos as funções internas
u(t)=2t+3, v(t)=t^3,
de modo que F(t)=fl(u(t),v(t)r). Suas derivadas são
u'(t)=2, v'(t)=3t^2

Passo 3

Pela regra da cadeia,
dFdt =partial fpartial ul(u(t),v(t)r),u'(t) +partial fpartial vl(u(t),v(t)r),v'(t)

Passo 4

Em t=1 temos
u(1)=2cdot1+3=5, v(1)=1^3=1, u'(1)=2, v'(1)=3cdot1^2=3
Como partial fpartial u(5,1)=-2e e partial fpartial v(5,1)=2, segue
dFdt(1) =(-2e)cdot2 + 2cdot3 =-4e + 6

Resposta

partial Fpartial t(1)=6-4e

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