Seja F(t)=f(2 t+3, t^3), onde f=f(u, v) é uma função real de duas variáveis reais diferenciável em R^2.
Expresse partial Fpartial t em termos das derivadas parciais de f.

Passo 1

O enunciado define
F(t)=fl(2t+3,;t^3r),
onde f(u,v) é diferenciável em R^2. O que precisamos usar aqui é a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Introduzimos as funções auxiliares
u(t)=2t+3, v(t)=t^3
Como F(t)=fl(u(t),v(t)r), a regra da cadeia diz que
dFdt =partial fpartial u,dudt +partial fpartial v,dvdt,
avaliadas em l(u(t),v(t)r).

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
dudt=2, dvdt=3t^2
Substituindo na fórmula da cadeia, obtemos
dFdt =partial fpartial ul(u(t),v(t)r)cdot 2 +partial fpartial vl(u(t),v(t)r)cdot 3t^2

Passo 4

Voltando aos argumentos originais u(t)=2t+3 e v(t)=t^3, chegamos a
partial Fpartial t =2,partial fpartial ul(2t+3,t^3r) +3t^2,partial fpartial vl(2t+3,t^3r)

Resposta

partial Fpartial t =2,partial fpartial u(2t+3,t^3) +3t^2,partial fpartial v(2t+3,t^3)

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