Questāo 3. (2,0) Calcule a soma da série
sumn=1^+infty 2n^2-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular
sumn=1^+infty2n^2-1
Perceba que, em n=1, o termo 21^2-1 não está definido. Logo, a soma efetivamente começa em n=2. Vamos verificar convergência (é uma série de termo geral sim 2/n^2, convergente por comparacão com 1/n^2) e em seguida usar frações parciais para fazer o somatório em forma telescópica.

Passo 2

Decomponha o termo geral em frações parciais:
2n^2-1 =2(n-1)(n+1) =1n-1-1n+1

Passo 3

Definimos a soma parcial
SN=sumn=2^N2n^2-1 =sumn=2^Nl(1n-1-1n+1r)
Ao expandir, obtemos
SN =l(tfrac11+tfrac12+tfrac13+cdots+tfrac1N-1r) -l(tfrac13+tfrac14+cdots+tfrac1N+1r)

Passo 4

Note que há cancelamentos em cascata: todos os termos tfrac13,tfrac14,dots,tfrac1N-1 desaparecem. Sobram em SN apenas
SN =1+tfrac12-1N-1N+1

Passo 5

Fazendo Ntoinfty, os termos tfrac1N e tfrac1N+1 vão a zero. Logo
sumn=2^infty2n^2-1 =1+tfrac12 =tfrac32

Resposta

tfrac32

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