Questão 1:
Calcular a solução do problema de valor inicial: \left(y \cos x+2 x e^{y}\right)+\left(\operatorname{sen} x+x^{2} e^{y}-1\right) y^{\prime}=0, y(0)=0.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\bigl(y\cos x + 2x e^{y}\bigr) + \bigl(\sin x + x^{2}e^{y} - 1\bigr)y' = 0,
com y(0)=0.
Isso é uma equação diferencial da forma
M(x,y) + N(x,y)\,y' = 0,
em que
M(x,y) = y\cos x + 2x e^{y}, \quad N(x,y)= \sin x + x^{2}e^{y} - 1.
O conteúdo é equação diferencial exata: vamos verificar exatidão, achar a função potencial \Psi(x,y) tal que \partial\Psi/\partial x=M e \partial\Psi/\partial y=N, e depois usar a condição inicial.

Passo 2

Verificamos se a equação é exata calculando
\frac{\partial M}{\partial y} \quad\text{e}\quad \frac{\partial N}{\partial x}.
Temos
\frac{\partial M}{\partial y} = \cos x + 2x e^{y},
\frac{\partial N}{\partial x} = \cos x + 2x e^{y}.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos \Psi(x,y) tal que
\Psi_x = M = y\cos x + 2x e^{y}.
Integrando em relação a x, tratando y como constante,
\Psi(x,y) = \int \bigl(y\cos x + 2x e^{y}\bigr)\,dx = y\sin x + e^{y}\,x^{2} + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Para encontrar h(y), usamos a condição
\Psi_y = N = \sin x + x^{2}e^{y} - 1.
Por outro lado,
\Psi_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\sin x + x^{2}e^{y} + h(y)\bigr) = \sin x + x^{2}e^{y} + h'(y).
Igualando a N:
\sin x + x^{2}e^{y} + h'(y) = \sin x + x^{2}e^{y} - 1 \;\;\Longrightarrow\;\; h'(y) = -1 \;\;\Longrightarrow\;\; h(y) = -y + C.
Logo a função potencial é
\Psi(x,y) = y\sin x + x^{2}e^{y} - y.

Passo 5

A solução geral implícita é
\Psi(x,y) = y\sin x + x^{2}e^{y} - y = C.
Aplicando y(0)=0:
0\cdot\sin0 + 0^{2}e^{0} - 0 = 0 = C.
Assim C=0 e a solução do PVI fica
y\sin x + x^{2}e^{y} - y = 0.

Resposta

y\sin x + x^{2}e^{y} - y = 0,
com y(0)=0.

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