Questão 1:
Calcular soluções para a equação y^{\prime}=\left(x^{2}+x y+y^{2}\right) / x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' = \frac{x^2 + x\,y + y^2}{x^2}.
Esse tipo de equação é homogênea porque a razão (x^2 + x\,y + y^2)/x^2 depende apenas de y/x. Vamos usar a substituição padrão para equações homogêneas, isto é, definir v = y/x e reescrever tudo em termos de v e x.

Passo 2

Escrevemos o lado direito em função de v=y/x:
\frac{x^2 + x\,y + y^2}{x^2} = \frac{x^2 + x\,(v\,x) + (v\,x)^2}{x^2} = 1 + v + v^2.
Logo a equação fica
\frac{dy}{dx} = 1 + v + v^2.

Passo 3

Como y = v\,x, temos
\frac{dy}{dx} = v + x\,\frac{dv}{dx}.
Substituindo em \frac{dy}{dx} = 1 + v + v^2
v + x\,\frac{dv}{dx} = 1 + v + v^2 \quad\Longrightarrow\quad x\,\frac{dv}{dx} = 1 + v^2.

Passo 4

Agora separamos variáveis em v e x:
\frac{dv}{1 + v^2} = \frac{dx}{x}.
Integramos ambos os lados:

Passo 5

\int \frac{dv}{1 + v^2} = \int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \arctan(v) = \ln\lvert x\rvert + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Voltando à variável original y, lembramos que v = y/x. Assim
\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) = \ln\lvert x\rvert + C \quad\Longrightarrow\quad \frac{y}{x} = \tan\bigl(\ln\lvert x\rvert + C\bigr).
Multiplicando por x, obtemos a solução geral:

Resposta

y(x) = x\,\tan\bigl(\ln\lvert x\rvert + C\bigr),
onde C é a constante arbitrária.

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