Questão 6. Se A e B são operadores lineares sobre um mesmo espaço vetorial tais que A B=B A, mostre que a imagem por B de um subespaço invariante por A ainda é invariante por A.
Nas questões abaixo, exceto por alguma menção explícita em contrário, consideramos espaços vetoriais sobre um corpo qualquer \mathbb{F}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se A e B são operadores lineares comutantes em um espaço vetorial V e W\subset V é subespaço invariante por A (isto é, A(W)\subset W), então B(W) também é invariante por A. O conteúdo usado será definição de subespaço invariante e a propriedade de comutação AB=BA.

Passo 2

Definimos o conjunto imagem de W por B como
B(W)=\{\,B(w)\mid w\in W\}.
Para mostrar invariância de B(W) por A, basta pegar um vetor genérico v\in B(W) e verificar que A(v)\in B(W).

Passo 3

Como v\in B(W), existe w\in W tal que v=B(w). Aplicando A em v e usando AB=BA, obtemos
A(v)=A\bigl(B(w)\bigr)=B\bigl(A(w)\bigr).

Passo 4

Pelo fato de W ser invariante por A, temos A(w)\in W. Portanto B\bigl(A(w)\bigr)\in B(W), o que mostra A(v)\in B(W). Como v era arbitrário em B(W), concluímos que A\bigl(B(W)\bigr)\subset B(W).

Resposta

B(W) é invariante por A, ou seja, A\bigl(B(W)\bigr)\subset B(W).

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