Questão 6. Se
e
são operadores lineares sobre um mesmo espaço vetorial tais que
, mostre que a imagem por
de um subespaço invariante por
ainda é invariante por
.
Nas questões abaixo, exceto por alguma menção explícita em contrário, consideramos espaços vetoriais sobre um corpo qualquer
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
e
são operadores lineares comutantes em um espaço vetorial
e
é subespaço invariante por
(isto é,
), então
também é invariante por
. O conteúdo usado será definição de subespaço invariante e a propriedade de comutação
.
Passo 2
Definimos o conjunto imagem de
por
como
Para mostrar invariância de
por
, basta pegar um vetor genérico
e verificar que
.
Passo 3
Como
, existe
tal que
. Aplicando
em
e usando
, obtemos
Passo 4
Pelo fato de
ser invariante por
, temos
. Portanto
, o que mostra
. Como
era arbitrário em
, concluímos que
.