Nas questões abaixo, exceto por alguma menção explícita em contrário, consideramos espaços vetoriais sobre um corpo qualquer
(\mathbb{F}).
Questão 1. Suponha que
. Considere o isomorfismo canônico (bidual)
Lembre-se de que o aniquilador de um subespaço
é
e o pré-aniquilador de um subespaço
é
e que, conforme já vimos em aula,
para todo
.
(a) Dado um subespaço
, mostre que
.
(b) Dado um subespaço
, mostre que
.
(c) Conclua que
para todo
.
(\mathbb{F}).
Questão 1. Suponha que
(a) Dado um subespaço
(b) Dado um subespaço
(c) Conclua que
Passo 1
O espaço
é de dimensão finita e temos o isomorfismo canônico
Para
definimos o aniquilador
e para
o pré-aniquilador
Já sabemos que
.
(a) queremos mostrar .
(b) queremos mostrar .
(c) concluir que .
(a) queremos mostrar
(b) queremos mostrar
(c) concluir que
Passo 2
Prova de (a). Seja
. Então para todo
temos
, i.e.
. Isso diz
. Reciprocamente, se
então
para todo
, isto é
e logo
. Assim
.
Passo 3
Prova de (b). Tomando
em (a), obtemos
Mas já sabemos que
. Portanto
Passo 4
Prova de (c). Primeiro, se
então, por definição de
, temos
, logo
. Assim
. Em dimensão finita vale
de onde
. Com a inclusão
e igualdade de dimensão, conclui-se
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)