Nas questões abaixo, exceto por alguma menção explícita em contrário, consideramos espaços vetoriais sobre um corpo qualquer
(\mathbb{F}).
Questão 1. Suponha que \operatorname{dim}(\mathbb{V})<\infty. Considere o isomorfismo canônico (bidual)
\kappa: \mathbb{V} \rightarrow \mathbb{V}^{* *}, \quad \kappa(v)(f)=f(v) \quad \text { para } \quad f \in \mathbb{V}^{*} \quad \text { e } \quad v \in \mathbb{V}
Lembre-se de que o aniquilador de um subespaço S \leq \mathbb{V} é
S^{0}=\left\{f \in \mathbb{V}^{*} \mid S \subseteq \operatorname{ker}(f)\right\}
e o pré-aniquilador de um subespaço \Lambda \leq \mathbb{V}^{*} é
{ }^{0} \Lambda=\bigcap_{f \in \Lambda} \operatorname{ker}(f),
e que, conforme já vimos em aula, S={ }^{0}\left(S^{0}\right) para todo S \leq \mathbb{V}.
(a) Dado um subespaço \Lambda \leq \mathbb{V}^{*}, mostre que \kappa\left({ }^{0} \Lambda\right)=\Lambda^{0}.
(b) Dado um subespaço S \leq \mathbb{V}, mostre que \kappa(S)=\left(S^{0}\right)^{0}.
(c) Conclua que \left({ }^{0} \Lambda\right)^{0}=\Lambda para todo \Lambda \leq \mathbb{V}^{*}.

Passo 1

O espaço \mathbb{V} é de dimensão finita e temos o isomorfismo canônico
\kappa:\mathbb{V}\to\mathbb{V}^{**},\quad \kappa(v)(f)=f(v).
Para S\le\mathbb{V} definimos o aniquilador
S^{0}=\{\,f\in\mathbb{V}^*\mid S\subseteq\ker(f)\,\},
e para \Lambda\le\mathbb{V}^* o pré-aniquilador
{}^{0}\Lambda=\bigcap_{f\in\Lambda}\ker(f).
Já sabemos que S={}^{0}(S^{0}).
(a) queremos mostrar \kappa({}^{0}\Lambda)=\Lambda^{0}.
(b) queremos mostrar \kappa(S)=(S^{0})^{0}.
(c) concluir que \bigl({}^{0}\Lambda\bigr)^{0}=\Lambda.

Passo 2

Prova de (a). Seja v\in{}^{0}\Lambda. Então para todo f\in\Lambda temos f(v)=0, i.e. \kappa(v)(f)=0. Isso diz \kappa(v)\in\Lambda^{0}. Reciprocamente, se \kappa(v)\in\Lambda^{0} então \kappa(v)(f)=0 para todo f\in\Lambda, isto é f(v)=0 e logo v\in{}^{0}\Lambda. Assim \kappa({}^{0}\Lambda)=\Lambda^{0}.

Passo 3

Prova de (b). Tomando \Lambda=S^{0} em (a), obtemos
\kappa\bigl({}^{0}(S^{0})\bigr)=\bigl(S^{0}\bigr)^{0}.
Mas já sabemos que {}^{0}(S^{0})=S. Portanto
\kappa(S)=(S^{0})^{0}.

Passo 4

Prova de (c). Primeiro, se f\in\Lambda então, por definição de {}^{0}\Lambda, temos {}^{0}\Lambda\subseteq\ker(f), logo f\in({}^{0}\Lambda)^{0}. Assim \Lambda\subseteq({}^{0}\Lambda)^{0}. Em dimensão finita vale
\dim\Lambda+\dim({}^{0}\Lambda)=\dim\mathbb{V} \quad\text{e}\quad \dim\bigl(({}^{0}\Lambda)^{0}\bigr)+\dim({}^{0}\Lambda)=\dim\mathbb{V},
de onde \dim\Lambda=\dim\bigl(({}^{0}\Lambda)^{0}\bigr). Com a inclusão \Lambda\subseteq({}^{0}\Lambda)^{0} e igualdade de dimensão, conclui-se
({}^{0}\Lambda)^{0}=\Lambda.

Resposta

(a) \kappa({}^{0}\Lambda)=\Lambda^{0}.
(b) \kappa(S)=(S^{0})^{0}.
(c) \bigl({}^{0}\Lambda\bigr)^{0}=\Lambda.

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