Questão 3. Seja A uma matriz quadrada de ordem n \times n. Lembre-se de que A é nilpotente se A^{k}=0 para algum inteiro positivo k.
Prove que são equivalentes:
(i) A é nilpotente;
(ii) Existe uma matriz G inversível tal que G A G^{-1} é triangular e possui diagonal formada por zeros.
[Dica: Exercício 4 da lista 7.]
(iii) O polinômio característico de A é p_{A}(x)=x^{n};
(iv) A^{n}=0.
[Cuidado: Na definição original de nilpotência, somente se requeria que A^{k}=0 para algum inteiro k. Este item diz que pode-se tomar k=n, o que é uma condição mais forte, a princípio.]
Nas questões abaixo, exceto por alguma menção explícita em contrário, consideramos espaços vetoriais sobre um corpo qualquer \mathbb{F}.

Passo 1

O enunciado trata de uma matriz quadrada A\in M_{n}(\mathbb{F}) e define nilpotência como “existe k>0 tal que A^{k}=0”. Precisamos mostrar a equivalência entre:
(i) A é nilpotente;
(ii) A é similar a uma matriz triangular com zeros na diagonal;
(iii) o polinômio característico de A é p_{A}(x)=x^{n};
(iv) A^{n}=0.
O conteúdo principal envolve polinômio mínimo, polinômio característico, teorema de triangularização (ou forma racional normal) e a propriedade de potências de matrizes estritamente triangulares.

Passo 2

Mostramos primeiro que (iv) \implies(i).
Se A^{n}=0, então claramente existe um inteiro positivo ( k=n) tal que A^{k}=0. Logo A satisfaz a definição de nilpotência, e portanto (iv) \implies(i).

Passo 3

Agora (i) \implies(iii).
Suponha que exista k>0 com A^{k}=0.
  1. O polinômio mínimo m_{A}(x) divide x^{k}, logo é da forma m_{A}(x)=x^{r} para algum r\le k.
  2. As raízes de m_{A}(x) são exatamente os autovalores de A, então o único autovalor de A é 0.
  3. Como o polinômio característico p_{A}(x) também tem grau n e possui todas as raízes iguais a 0 (contadas com multiplicidade algébrica), segue que
p_{A}(x)=x^{n}.

Passo 4

Demontramos (iii) \implies(ii).
Se p_{A}(x)=x^{n}, então o polinômio mínimo m_{A}(x) divide x^{n} e portanto é produto de potências de fatores lineares (x-0). Assim o polinômio mínimo se fatora completamente em \mathbb{F}[x], e pelo teorema de triangularização (ou pela forma racional normal) existe base em que A fica triangular. Nessa forma triangular, as entradas da diagonal são exatamente os autovalores (todas iguais a zero), de modo que
\exists\,G\text{ invertível: }GAG^{-1}= \begin{pmatrix} 0 & * & \cdots & *\\\\ 0 & 0 & \cdots & *\\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\\\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}.í

Passo 5

Finalmente (ii) \implies(iv).
Se T=GAG^{-1} é estritamente triangular de ordem n, então é conhecido que T^{n}=0. Usando similaridade temos
A^{n}=G^{-1}T^{n}G=G^{-1}0\,G=0.

Resposta

As quatro condições são equivalentes:
(i) \iff(ii) \iff(iii) \iff(iv).

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