Nas questões abaixo, exceto por alguma menção explícita em contrário, consideramos espaços vetoriais sobre um corpo qualquer
(\mathbb{F}).
Questão 2. O resultado final da questão anterior não vale no caso em que
.
Tome
, o espaço vetorial de todas as funções
. Para cada
, seja
dada por
e seja
.
Prove que
, e portanto
, mas que
.
(\mathbb{F}).
Questão 2. O resultado final da questão anterior não vale no caso em que
Tome
Prove que
Passo 1
O enunciado considera o espaço vetorial
de todas as funções
. Para cada
definimos o funcional de avaliação
e tomamos
Precisamos mostrar que o aniquilador
é
, daí
, mas que ainda assim
.
Passo 2
Calcular
. Seja
. Então
Em particular, para cada
temos
, logo
Como isso vale para todo
,
é a função nula e, portanto,
Passo 3
Calcular
. Geralmente, em qualquer espaço vetorial não–trivial, dado
podemos estender
a uma base e definir um funcional linear que manda
em um escalar não nulo. Logo existe
com
. Assim
Passo 4
Agora
Mas
vale para todo funcional linear, logo
Passo 5
Por fim,
é apenas o subespaço gerado pelos contáveis
, enquanto
é muito maior (por exemplo, contém funcionais que dependem de infinitas coordenadas ao mesmo tempo). Assim
Resposta
mas