Nas questões abaixo, exceto por alguma menção explícita em contrário, consideramos espaços vetoriais sobre um corpo qualquer
(\mathbb{F}).
Questão 2. O resultado final da questão anterior não vale no caso em que \operatorname{dim}(\mathbb{V})=\infty.
Tome \mathbb{V}=\mathbb{F}^{\mathbb{N}}, o espaço vetorial de todas as funções f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{F}. Para cada n, seja P_{n} \in \mathbb{V}^{*} dada por
P_{n}(f)=f(n)
e seja \Lambda=\operatorname{span}\left\{P_{n} \mid n \in \mathbb{N}\right\}.
Prove que { }^{0} \Lambda={ }^{0}\left(\mathbb{V}^{*}\right)=\{0\}, e portanto \left({ }^{0} \Lambda\right)^{0}=\mathbb{V}^{*}, mas que \Lambda \neq \mathbb{V}^{*}.

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial
\mathbb{V} = \mathbb{F}^\mathbb{N}
de todas as funções f\colon \mathbb{N}\to\mathbb{F}. Para cada n\in\mathbb{N} definimos o funcional de avaliação
P_n\in\mathbb{V}^*,\qquad P_n(f)=f(n),
e tomamos
\Lambda=\operatorname{span}\{P_n\mid n\in\mathbb{N}\}.
Precisamos mostrar que o aniquilador
{}^0\Lambda=\{v\in\mathbb{V}: \varphi(v)=0\\ \forall\,\varphi\in\Lambda\}
é \{0\}, daí \bigl({}^0\Lambda\bigr)^0=\mathbb{V}^*, mas que ainda assim \Lambda\neq\mathbb{V}^*.

Passo 2

Calcular {}^0\Lambda. Seja v\in{}^0\Lambda. Então
\varphi(v)=0\quad\forall\,\varphi\in\Lambda.
Em particular, para cada k\in\mathbb{N} temos P_k\in\Lambda, logo
P_k(v)=v(k)=0.
Como isso vale para todo k, v é a função nula e, portanto,
{}^0\Lambda=\{0\}.

Passo 3

Calcular {}^0(\mathbb{V}^*). Geralmente, em qualquer espaço vetorial não–trivial, dado v\neq0 podemos estender v a uma base e definir um funcional linear que manda v em um escalar não nulo. Logo existe \varphi\in\mathbb{V}^* com \varphi(v)\neq0. Assim
{}^0(\mathbb{V}^*)=\{v\in\mathbb{V}:\varphi(v)=0\\ \forall\,\varphi\in\mathbb{V}^*\}=\{0\}.

Passo 4

Agora
\bigl({}^0\Lambda\bigr)^0 =\{\,\varphi\in\mathbb{V}^*:\varphi(v)=0\\ \forall\,v\in{}^0\Lambda\} =\{\varphi\in\mathbb{V}^*:\varphi(0)=0\}.
Mas \varphi(0)=0 vale para todo funcional linear, logo
\bigl({}^0\Lambda\bigr)^0=\mathbb{V}^*.

Passo 5

Por fim, \Lambda é apenas o subespaço gerado pelos contáveis P_n, enquanto \mathbb{V}^* é muito maior (por exemplo, contém funcionais que dependem de infinitas coordenadas ao mesmo tempo). Assim
\Lambda\neq\mathbb{V}^*.

Resposta

{}^0\Lambda={}^0(\mathbb{V}^*)=\{0\},
\bigl({}^0\Lambda\bigr)^0=\mathbb{V}^*,
mas \Lambda\neq\mathbb{V}^*.

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