Questão (a) 3 (b) 2
Seja
as somas parciais da sequência
.
(a) Determine a série infinita.
(b) Se a série for convergente, determine a soma da série.
(a) Determine a série infinita.
(b) Se a série for convergente, determine a soma da série.
Passo 1
O enunciado diz que as somas parciais de uma série (aₙ) são dadas por sₙ=
. O assunto aqui é séries infinitas e convergência: vamos achar o termo geral aₙ a partir de sₙ e depois ver se
converge, usando a ideia de diferença de somas parciais e telescoping.
Passo 2
Como em toda série, a gente tem
e para
vale
. Vamos aplicar essa definição.
Passo 3
Para
escrevemos:
Passo 4
Passo 5
Agora vamos simplificar. Fazendo as multiplicações no numerador e subtraindo, a gente encontra que o resultado é 1, então:
Passo 6
Passo 7
E também
.
Passo 8
Dessa forma a série infinita fica:
Passo 9
Passo 10
Para ver se converge, basta olhar o limite de sₙ. Como
, temos
. Isso mostra que a série converge e sua soma é exatamente esse limite.
Resposta
a)
. b) A série converge e
.