Questão (a) 3 (b) 2
Seja sn=3 n+5n+2, n in N as somas parciais da sequência (an).
(a) Determine a série infinita.
(b) Se a série for convergente, determine a soma da série.

Passo 1

O enunciado diz que as somas parciais de uma série (aₙ) são dadas por sₙ= 3n+5n+2. O assunto aqui é séries infinitas e convergência: vamos achar o termo geral aₙ a partir de sₙ e depois ver se sum aₙ converge, usando a ideia de diferença de somas parciais e telescoping.

Passo 2

Como em toda série, a gente tem a₁=s₁ e para n>=2 vale aₙ=sₙ - sn-1. Vamos aplicar essa definição.

Passo 3

Para n>=2 escrevemos:

Passo 4

aₙ = 3n+5n+2 - 3(n-1)+5(n-1)+2

Passo 5

Agora vamos simplificar. Fazendo as multiplicações no numerador e subtraindo, a gente encontra que o resultado é 1, então:

Passo 6

aₙ = 1(n+1)(n+2) para n>=2

Passo 7

E também a₁ = s₁ = 3cdot1+51+2 = 83.

Passo 8

Dessa forma a série infinita fica:

Passo 9

sumn=1^infty aₙ = 83 + sumn=2^infty 1(n+1)(n+2)

Passo 10

Para ver se converge, basta olhar o limite de sₙ. Como sₙ=3 - 1n+2, temos limntoinfty sₙ = 3. Isso mostra que a série converge e sua soma é exatamente esse limite.

Resposta

a) sumn=1^infty aₙ = 83 + sumn=2^infty 1(n+1)(n+2). b) A série converge e sumn=1^infty aₙ = 3.

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