Represente graficamente o domínio da função z=f(x, y) dada por:
f(x, y)=x-ysin x-sin y;

Passo 1

O enunciado pede para representar graficamente o domínio de
z=f(x,y)=x-ysin x-sin y
Isso é um problema de domínio de função de duas variáveis: precisamos encontrar todos os (x,y)inR^2 tais que a expressão esteja bem definida, ou seja, o denominador não pode ser zero.

Passo 2

Identificamos a condição de existência:
sin x-sin y neq 0
Portanto, o domínio é
D = (x,y)inR^2 mid sin x neq sin y

Passo 3

Para achar onde sin x-sin y=0, usamos a identidade de soma-diferença:
sin x-sin y = 2cosl(tfracx+y2r),sinl(tfracx-y2r)

Passo 4

Da fatoração vemos que sin x-sin y=0 se e somente se
cosl(tfracx+y2r)=0 ou sinl(tfracx-y2r)=0
Isso dá duas famílias de retas no plano (x,y):
  1. sinl(tfracx-y2r)=0implies tfracx-y2=kpi implies x-y=2kpi, kinZ
  2. cosl(tfracx+y2r)=0implies tfracx+y2=tfracpi2+kpi implies x+y=pi+2kpi, kinZ

Passo 5

Logo, o denominador se anula exatamente sobre as retas
x-y=2kpi e x+y=pi+2kpi, kinZ
Para que f esteja definida, devemos excluir essas retas do plano.

Passo 6

Graficamente, no plano (x,y), traçamos duas famílias de retas diagonais com passo 2pi:
  • Retas de inclinação +1: x-y=2kpi.
  • Retas de inclinação -1: x+y=pi+2kpi.
    O domínio D é todo o plano R^2 exceto essas linhas, ou seja, a união dos “faixas” entre essas retas.

Resposta

O domínio de
f(x,y)=x-ysin x-sin y
é
D = l(x,y)inR^2 mid sin x neq sin yr =R^2setminus l(cupkinZx-y=2kpi;cup;x+y=pi+2kpir)

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