Questão (a) 4 (b) 2
Seja sumn=1^+infty 16^n-1-12^n-132^n-1.
(a) Mostre que a série converge.
(b) Determine a soma da série.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência e calcular a soma da série infinita
sumn=1^+infty16^n-1-12^n-132^n-1
O conteúdo envolve séries geométricas: vamos decompor a soma em duas séries geométricas, aplicar o critério de convergência lvert rrvert<1 e usar a fórmula da soma.

Passo 2

Reescrevendo o termo geral temos
16^n-1-12^n-132^n-1 =16^n-132^n-1-12^n-132^n-1 =(tfrac12)^,n-1-(tfrac38)^,n-1

Passo 3

Cada série
sumn=1^+infty(1/2)^n-1 e
sumn=1^+infty(3/8)^n-1
é geométrica com razão r1=1/2 e r2=3/8. Como lvert r1rvert<1 e lvert r2rvert<1, ambas convergem, logo a diferença também converge.

Passo 4

Usando
sumk=0^+inftyr^k=11-r,
calculamos
sumn=1^+infty(1/2)^n-1 =sumk=0^+infty(1/2)^k =11-tfrac12 =2

Passo 5

De modo análogo,
sumn=1^+infty(3/8)^n-1 =sumk=0^+infty(3/8)^k =11-tfrac38 =85

Passo 6

Subtraindo as duas somas obtemos
2-85 =105-85 =25

Resposta

(a) A série converge.
(b) A soma da série é 25.

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