Questão (a) 4 (b) 2
Seja
.
(a) Mostre que a série converge.
(b) Determine a soma da série.
(a) Mostre que a série converge.
(b) Determine a soma da série.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência e calcular a soma da série infinita
O conteúdo envolve séries geométricas: vamos decompor a soma em duas séries geométricas, aplicar o critério de convergência
e usar a fórmula da soma.
Passo 2
Reescrevendo o termo geral temos
Passo 3
Cada série
e
é geométrica com razão e
. Como
e
, ambas convergem, logo a diferença também converge.
é geométrica com razão
Passo 4
Usando
calculamos
Passo 5
De modo análogo,
Passo 6
Subtraindo as duas somas obtemos
Resposta
(a) A série converge.
(b) A soma da série é .
(b) A soma da série é