Questão 1. Um pulsar é uma estrela de nêutrons em rotação rápida da qual recebemos pulsos de rádio com sincronização precisa, havendo um pulso para cada rotação da estrela. O período T de rotação é encontrado medindo-se o tempo entre os pulsos. Atualmente, o pulsar na região central da Nebulosa do Caranguejo tem um período de rotação de T=0,033 s, e observa-se que este valor está aumentando à taxa de 1,26 \times 10^{-5} s/ano.
Respostas:
(a) Mostre que a velocidade angular \omega da estrela está relacionada ao período de rotação por \omega=2 \pi / T.
Passo 1
O enunciado pede explicitamente para demonstrar uma relação entre a velocidade angular e o período de rotação. Informações fornecidas no enunciado:
Período de rotação: T=0,033\\ \text{s}.
Taxa de variação do período: \dfrac{dT}{dt}=1,26\times10^{-5}\\ \text{s/ano}.
A pergunta que devemos responder é:
Mostrar que a velocidade angular \omega da estrela está relacionada ao período por \omega=\dfrac{2\pi}{T}.
Passo 2
Vamos definir claramente as quantidades envolvidas.
A posição angular da estrela (ou de um ponto fixo nela) ao longo do tempo será denotada por \theta(t). A unidade de \theta é radiano.
O período T é o tempo que a estrela leva para completar uma volta completa; isto é, depois de um intervalo de tempo T a ângulo aumenta de uma volta inteira.
A velocidade angular \omega(t) é definida como a taxa de variação temporal do ângulo:
\omega(t)=\frac{d\theta}{dt}.
Explicação simples: \omega diz quantos radianos por segundo o corpo gira. Se em 1 segundo a estrela gira 1 volta completa (2\pi rad), então \omega=2\pi\\ \text{rad/s}.
Passo 3
Agora conectamos período e velocidade angular usando a definição acima.
Uma volta completa corresponde a um deslocamento angular de \Delta\theta=2\pi rad.
O tempo que leva para essa volta é \Delta t=T.
Uma média da velocidade angular durante essa volta é
Se a rotação é uniforme (ou se nos referimos à velocidade angular instantânea em movimento praticamente uniforme, como é o caso de um pulsar que gira quase uniformemente), a velocidade angular instantânea coincide com essa média. Portanto
\omega=\frac{2\pi}{T}.
Aqui \omega está em radianos por segundo se T estiver em segundos. Cada símbolo significa:
\omega: velocidade angular (rad/s),
T: período (s),
2\pi: ângulo de uma volta completa em radianos.
Passo 4
Pequena justificativa via cálculo (para fixar): se \theta(t) cresce linearmente no tempo como \theta(t)=\omega t+\theta_0 (rotação uniforme), então
\omega=\frac{d\theta}{dt}.
Depois de um tempo T tem-se \theta(t+T)-\theta(t)=\omega T=2\pi, daí \omega=2\pi/T. Isso mostra que a fórmula vale tanto por argumento geométrico quanto por diferenciação.
Passo 5
Exemplo numérico prático (útil para prova): usando T=0,033\\ \text{s},
Explicação: basta dividir 2\pi pelo valor do período para obter a velocidade angular em rad/s — operação direta que dá uma ideia do quão rápido o pulsar gira.
Passo 6
Observação adicional (bônus didático): se for preciso relacionar a taxa de variação da velocidade angular \dfrac{d\omega}{dt} com a taxa de variação do período \dfrac{dT}{dt}, diferencie \omega=2\pi/T em relação ao tempo:
Isto é útil para calcular o “spin-down” (desaceleração angular) do pulsar a partir de como o período cresce com o tempo. Para aplicar numericamente é preciso converter \dfrac{dT}{dt} de \text{s/ano} para \text{s/s} (dividindo por \approx3{,}15576\times10^{7}\\ \text{s/ano}).