Questăo 3. A probabilidade de que um aviào parta sem atraso da cidade A e 0.83 ; a probabilidade de que esse aviào chegue sem atraso na cidade B é 0.82, e a probabilidade que parta sem atraso e chegue sem atraso é 0,78 .
a) Encontre a probabilidade de que não haja atraso em pelo menos um dos horários previstos (partida/chegada).
b) Encontre a probabilidade de que o avião tenha partido atrasado dado que chegou atrasado.
c) Os eventos “partir atrasado” e “chegar atrasado” são independentes? (Justifique sua resposta).

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes probabilidades para o mesmo voo:
\;P(P)=0,83, a probabilidade de partir sem atraso;
\;P\text{(C)}=0,82, a probabilidade de chegar sem atraso;
\;P(P\cap C)=0,78, a probabilidade de partir sem atraso e chegar sem atraso.
Vamos usar:
– para (a) o princípio da inclusão–exclusão;
– para (b) definição de probabilidade condicional;
– para (c) o teste de independência entre os eventos “partir atrasado” e “chegar atrasado”.

Passo 2

Calcular a probabilidade de que não haja atraso em pelo menos um dos horários, isto é
\;P\bigl(P\cup C\bigr).
Pelo princípio da inclusão–exclusão:
P(P\cup C) = P(P) + P\text{(C)} - P(P\cap C) = 0,83 + 0,82 - 0,78 = 0,87.

Passo 3

Calcular a probabilidade de ter partido atrasado dado que chegou atrasado, isto é
\;P\bigl(P'\mid C'\bigr).
Primeiro
P(C') = 1 - P\text{(C)} = 1 - 0,82 = 0,18,
e
P(P'\cap C') = 1 - P(P\cup C) = 1 - 0,87 = 0,13.
Logo,
P\bigl(P'\mid C'\bigr) = \frac{P(P'\cap C')}{P(C')} = \frac{0,13}{0,18} = \frac{13}{18} \approx 0,722.

Passo 4

Testar se “partir atrasado” e “chegar atrasado” são independentes.
Se fossem independentes, deveríamos ter
P(P'\cap C') = P(P')\,P(C').
Mas
P(P') = 1 - 0,83 = 0,17, \quad P(C') = 0,18,
e
P(P')\,P(C') = 0,17 \times 0,18 = 0,0306 \neq 0,13 = P(P'\cap C').
Portanto, não são independentes.

Resposta

a) 0,87
b) \displaystyle \frac{13}{18}\approx0,722
c) Não são independentes, pois P(P'\cap C')\neq P(P')\,P(C').

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