Questão 7. Seja
:
a) Mostre que
é um subespaço vetorial
b) Encontre uma base e a dimensão de
a) Mostre que
b) Encontre uma base e a dimensão de
Passo 1
O enunciado define
O conteúdo é teoria de subespaços vetoriais em
. Para mostrar que
é subespaço, usaremos o critério de fechamento sob soma e multiplicação por escalar (e verificar que
). Depois, para achar uma base e a dimensão, resolveremos a equação
em termos de variáveis livres.
Passo 2
Verificamos que o vetor nulo
pertence a
, pois
Passo 3
Sejam
e
. Então
Para a soma,
e
logo
.
Passo 4
Para escalar, seja
.
e
logo
. Com isso,
é subespaço vetorial.
Passo 5
Para achar uma base, resolvemos
Logo todo vetor em
pode ser escrito como
Portanto
de modo que
gera
. Esses dois vetores são linearmente independentes (nenhum é múltiplo escalar do outro), então formam uma base de
.
Resposta
A base de
é
e
.