Questão 7. Seja W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x-y+2 z=0\right\} :
a) Mostre que W é um subespaço vetorial
b) Encontre uma base e a dimensão de W

Passo 1

O enunciado define
W = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x - y + 2z = 0\}.
O conteúdo é teoria de subespaços vetoriais em \mathbb{R}^3. Para mostrar que W é subespaço, usaremos o critério de fechamento sob soma e multiplicação por escalar (e verificar que 0\in W). Depois, para achar uma base e a dimensão, resolveremos a equação x - y + 2z = 0 em termos de variáveis livres.

Passo 2

Verificamos que o vetor nulo (0,0,0) pertence a W, pois
0 - 0 + 2\cdot0 = 0.

Passo 3

Sejam \mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1)\in W e \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2)\in W. Então
x_1 - y_1 + 2z_1 = 0 \quad\text{e}\quad x_2 - y_2 + 2z_2 = 0.
Para a soma,
(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = (x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2),
e
(x_1+x_2) - (y_1+y_2) + 2(z_1+z_2) = (x_1 - y_1 + 2z_1) + (x_2 - y_2 + 2z_2) = 0 + 0 = 0,
logo \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W.

Passo 4

Para escalar, seja \lambda\in\mathbb{R}.
\lambda\,\mathbf{u} = (\lambda x_1,\;\lambda y_1,\;\lambda z_1),
e
\lambda x_1 - \lambda y_1 + 2(\lambda z_1) = \lambda\,(x_1 - y_1 + 2z_1) = \lambda\cdot0 = 0,
logo \lambda\mathbf{u}\in W. Com isso, W é subespaço vetorial.

Passo 5

Para achar uma base, resolvemos
x - y + 2z = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = y - 2z.
Logo todo vetor em W pode ser escrito como
(x,y,z) = (\,y - 2z,\;y,\;z) = y\,(1,1,0) \;+\; z\,(-2,0,1).
Portanto
W = \Bigl\{\,y\,(1,1,0) + z\,(-2,0,1)\mid y,z\in\mathbb{R}\Bigr\},
de modo que \{(1,1,0),\,(-2,0,1)\} gera W. Esses dois vetores são linearmente independentes (nenhum é múltiplo escalar do outro), então formam uma base de W.

Resposta

A base de W é
\{(1,1,0),\,(-2,0,1)\}
e \dim W = 2.

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