1^ a Questão - Um bastão cilíndrico de vidro ( nv=1,45 ) imerso na água ( nH2 O=4 / 3 ) é utilizado para guiar luz entre as suas faces planas. (a) Qual o ângulo máximo da luz refratada na face de saída que é totalmente transmitida através do bastão? (b) É possível guiar luz incidindo a partir de um ponto na superfície lateral?

Passo 1

O enunciado descreve um bastão cilíndrico de vidro com índice de refração interno nv=1,45, imerso na água de índice nH2O=tfrac43. Queremos guiar luz de uma face plana até a face oposta sem perda pelas superfícies laterais. No item (a) buscamos o maior ângulo thetarm out que o raio pode formar com a normal da face de saída (no exterior, na água) e ainda ter sido guiado internamente. No item (b) vamos verificar se é possível injetar luz pela superfície lateral e ainda guiá-la.

Passo 2

Para que um raio que se propaga dentro do bastão não escape pelas suas paredes cilíndricas, ele deve sofrer reflexão interna total nessas paredes. O ângulo crítico para a reflexão vidro→água na superfície lateral é
thetac ;=;arcsin!l(nH2Onvr) ;=;arcsin!l(4/31,45r)
Esse thetac é medido em relação à normal à parede lateral (que é radial). Se chamarmos de phi o ângulo que o raio interno faz com o eixo do bastão (normal às faces), então a incidência na lateral é ,90^circ-phi. Para ter TIR precisamos
90^circ - phi ;>=;thetac Longrightarrow phi ;<=; 90^circ - thetac,
Definimos então
phimax = 90^circ - thetac,
como o maior ângulo interno em relação ao eixo que ainda será guiado.

Passo 3

Na face de saída (plana) o raio interno faz phi em relação à normal. Pela lei de Snell (vidro→água) temos
nv,sin!l(phir) ;=; nH2O,sin!l(thetarm outr),
logo o maior ângulo thetarm out ocorre quando phi=phimax:
sin!l(thetarm out^maxr) =nvnH2O,sin!l(phimaxr)
Vamos aos valores numéricos:
thetac = arcsinl(tfrac4/31,45r)approx arcsin(0,9186)approx 66,8^circ,
phimax=90^circ-66,8^circ=23,2^circ,
sin(thetarm out^max) =1,454/3,sin(23,2^circ) approx1,0875times0,3947 approx0,4292,
thetarm out^max =arcsin(0,4292)approx25,4^circ

Passo 4

(b) Injetar luz pela superfície lateral significa incidir raios na casca cilíndrica vidro–água. Como nrm ext<nv, não há TIR na entrada, e é possível escolher a direção de incidência de modo que o raio refratado interno forme um ângulo phi<=phimax com o eixo, garantindo a TIR nas laterais e a transmissão nas faces planas. Portanto, em princípio sim, é possível guiar luz incidindo pela lateral, desde que a direção de entrada gere phi<=23,2^circ.

Resposta

(a) thetarm out^maxapprox25,4^circ
(b) Sim, desde que o raio refratado forme um ângulo interno phi<=23,2^circ com o eixo, garantindo TIR nas paredes laterais.

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