QUESTÃO 5:

\begin{tabular}{|l|l|}
\hline ENUNCIADO: & Um carro novo custa X e dá uma despesa mensal de R$1.900,00 no primeiro ano de uso, de \mathrm{R} \2.400,00 no segundo ano e de\mathrm{R} $ 3.000,00 no terceiro ano. O valor de revenda desse carro após três anos de uso é de 60\% do preço dele novo. Considere uma taxa mínima de atratividade deóêéçí1,0 %$ ao mês e obtenha o custo mensal de trocar de carro a cada três anos, nessas mesmas condições.

\hline DADO: X (R$) RESPOSTA (R$): & 180.000,00

\hline &

Passo 1

O enunciado diz que um carro custa X = 180\,000 reais no instante zero, gera despesas mensais de
\,1\,900 reais nos meses 1–12,
\,2\,400 reais nos meses 13–24,
\,3\,000 reais nos meses 25–36,
e depois de 36 meses é vendido por 60% do preço novo, ou seja, \mathrm{SV}=0{,}6\times180\,000 = 108\,000 reais. A taxa de interesse é i=1\% ao mês. Queremos encontrar o custo uniforme mensal equivalente (EUAC) dessa troca a cada 3 anos.
Para isso vamos:
  1. Trazer todos os fluxos a valor presente (PW).
  2. Converter esse PW em uma série uniforme mensal A usando o fator de recuperação de capital.

Passo 2

Modelamos o valor presente dos três blocos de despesa operacional e da revenda:
  1. Primeiro ano (meses 1–12): despesa mensal C_1=1\,900. O fator de valor presente de uma anuidade de 12 meses a 1\% é
(P/A)_{12} = \frac{(1{.}01)^{12}-1}{0{.}01\,(1{.}01)^{12}}.
Logo o PV desse bloco é
PV_1 = -1\,900 \;\frac{(1{.}01)^{12}-1}{0{.}01\,(1{.}01)^{12}}.
  1. Segundo ano (meses 13–24): despesa C_2=2\,400. Primeiro calculamos o PV como se estivesse nos meses 1–12 e depois descontamos 12 meses:
PV_2 = -2\,400\;\frac{(1{.}01)^{12}-1}{0{.}01\,(1{.}01)^{12}}\;\frac{1}{(1{.}01)^{12}}.
  1. Terceiro ano (meses 25–36): despesa C_3=3\,000. Mesma lógica, descontando 24 meses:
PV_3 = -3\,000\;\frac{(1{.}01)^{12}-1}{0{.}01\,(1{.}01)^{12}}\;\frac{1}{(1{.}01)^{24}}.
  1. Revenda no mês 36: \mathrm{SV}=108\,000. Seu PV é
PV_4 = +108\,000\;\frac{1}{(1{.}01)^{36}}.
  1. Compra inicial:
PV_0 = -180\,000.

Passo 3

Calculamos agora os fatores numéricos:
(1{.}01)^{12}=1{.}126825,\quad (1{.}01)^{24}=1{.}269737,\quad (1{.}01)^{36}=1{.}430768.
O fator (P/A)_{12} = \dfrac{1{.}126825-1}{0{.}01\cdot1{.}126825}=11{.}25493.
Assim
PV_1 = -1\,900\times11{.}25493 = -21\,384{.}37,
PV_2 = -2\,400\times11{.}25493\;/\;1{.}126825 = -23\,967{.}24,
PV_3 = -3\,000\times11{.}25493\;/\;1{.}269737 = -26\,588{.}33,
PV_4 = 108\,000\;/\;1{.}430768 = +75\,511{.}92.

Passo 4

Somando todos os PVs, incluindo a compra inicial, obtemos o PW total:
PW = PV_0 + PV_1 + PV_2 + PV_3 + PV_4 = -180\,000 -21\,384{.}37 -23\,967{.}24 -26\,588{.}33 +75\,511{.}92 = -183\,571{.}98.

Passo 5

Agora convertemos esse PW em um pagamento mensal uniforme A por 36 meses usando o fator de recuperação de capital
(A/P)_{36} = \frac{i\,(1+i)^{36}}{(1+i)^{36}-1} = \frac{0{.}01\times1{.}430768}{1{.}430768-1} =0{.}03323321.
Logo
A = PW \times (A/P)_{36} = -183\,571{.}98 \times 0{.}03323321 = -6\,100{.}33.
O sinal negativo indica que é um desembolso.

Resposta

O custo mensal equivalente de trocar de carro a cada três anos é de R$ 6100,33.

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