Questão 2. Betinho fez mais uma trilha numa montanha e se perdeu de novo! Como a equipe de resgate já conhecia o histórico de Betinho em se perder e a sua intenção de fazer trilha nessa montanha, eles mapearam a montanha em duas regiões: floresta e caverna. A equipe sabe que a probabilidade de alguém que faz trilha nessa montanha se perder na floresta é
, enquanto a probabilidade de se perder na caverna é
. Sabe-se ainda que, se alguém se perder na floresta, a probabilidade de a equipe de resgate encontrá-la na floresta é de
, enquanto que, se alguém se perder na caverna, a probabilidade de a equipe de resgate encontrá-la na caverna é de
. Por fim, caso alguém se perca numa região e a equipe faça uma busca na outra região, a probabilidade de a equipe encontrá-la é 0%.
A equipe de resgate realizou
buscas, sendo
na floresta e 1 na caverna, mas não encontrou Betinho em nenhuma delas. Sabendo disso, determine o menor valor inteiro positivo de
para o qual a probabilidade de Betinho ter se perdido na caverna seja maior do que a probabilidade de Betinho ter se perdido na floresta.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
-
Probabilidades a priori (peguei estes valores do enunciado):
- Probabilidade de Betinho se perder na floresta:
. - Probabilidade de Betinho se perder na caverna:
.
- Probabilidade de Betinho se perder na floresta:
-
Probabilidades de ser encontrado por busca na mesma região (peguei estes valores do enunciado):
- Se perdido na floresta, probabilidade de ser encontrado em uma busca feita na floresta:
. - Se perdido na caverna, probabilidade de ser encontrado em uma busca feita na caverna:
.
- Se perdido na floresta, probabilidade de ser encontrado em uma busca feita na floresta:
-
Informação sobre buscas em regiões diferentes (peguei isso do enunciado):
- Se alguém se perde numa região e a equipe busca somente na outra região, a probabilidade de encontrá-la é
.
- Se alguém se perde numa região e a equipe busca somente na outra região, a probabilidade de encontrá-la é
-
A equipe fez
buscas: buscas na floresta e busca na caverna, e NÃO encontrou Betinho em nenhuma delas. Ou seja, o evento observado é “nenhuma busca teve sucesso”. -
O que o enunciado pergunta:
- Determinar o menor inteiro positivo
tal que, dado que nenhuma busca encontrou Betinho, a probabilidade de ele ter se perdido na caverna seja maior do que a probabilidade de ele ter se perdido na floresta.
- Determinar o menor inteiro positivo
Passo 2
Definindo eventos e calculando probabilidades condicionais necessárias.
-
Defino os eventos:
-
: “Betinho se perdeu na floresta”. -
: “Betinho se perdeu na caverna”. -
: “ninguém encontrou Betinho em nenhuma das buscas (todas fracassaram)”.
-
-
Primeiro, calcular
, a probabilidade de não encontrar dada a hipótese que ele está na caverna. - Se ele está na caverna, as
buscas feitas na floresta não conseguem encontrá‑lo (o enunciado diz que procurar na outra região tem probabilidade de achar). Então essas buscas contribuem com probabilidade de “não encontrar” (ou seja, garantido que não vão achar). - Há 1 busca na caverna, e cada busca na caverna encontra com probabilidade
. Portanto a probabilidade de NÃO ser encontrado nessa única busca na caverna é . - Assim
- Se ele está na caverna, as
-
Agora, calcular
, a probabilidade de não encontrar dada a hipótese que ele está na floresta. - Se ele está na floresta, a busca única na caverna tem probabilidade
de encontrá‑lo, então ela sempre falha (contribui com fator para “não encontrado”). - As
buscas na floresta, cada uma encontra com probabilidade . Assumimos que as buscas são independentes e com a mesma eficiência (modelagem usual em probleminhas deste tipo). Assim a probabilidade de nenhuma das buscas na floresta encontrá‑lo é . - Portanto
- Se ele está na floresta, a busca única na caverna tem probabilidade
(Aqui usei a ideia básica de probabilidade condicional e multiplicação de probabilidades para eventos independentes: quando dois testes independentes têm probabilidades de fracasso
e
, a probabilidade de ambos fracassarem é
.)
Passo 3
Usar Bayes e comparar as probabilidades posteriores.
-
Pelo Teorema de Bayes, a probabilidade posterior de ter se perdido na caverna dado que não o encontraram é(O denominador é a probabilidade total de
, obtida somando os contributos das duas hipóteses mutuamente exclusivas e .) -
Queremos
. Como , essa desigualdade é equivalente a . Uma forma ainda mais direta é comparar os numeradores antes da normalização: se, e somente se, porque o denominador (soma positiva) é comum aos dois lados e pode ser ignorado para comparar as frações. -
Substituindo os valores conhecidos:
-
, , -
, .
A desigualdade fica -
-
Multiplico ambos os lados por
para simplificar: -
Dividindo por
: ou equivalentemente
Passo 4
Resolver a desigualdade
procurando o menor inteiro positivo
.
-
Uma maneira simples (sem logaritmos) é testar potências sucessivas de
: -
. -
. -
. -
. -
.
-
-
Comparando com
: - Para
temos → condição NÃO satisfeita. - Para
temos → condição satisfeita.
- Para
-
Logo o menor inteiro positivo
que torna é . -
(Cheque numérico rápido do posterior para
, só para confirmar): - Numerador comum para
: . - Contribuição de
no denominador: . - Denominador total:
. - Assim
, confirmando que a caverna passa a ser mais provável.
- Numerador comum para