Questão 2. Betinho fez mais uma trilha numa montanha e se perdeu de novo! Como a equipe de resgate já conhecia o histórico de Betinho em se perder e a sua intenção de fazer trilha nessa montanha, eles mapearam a montanha em duas regiões: floresta e caverna. A equipe sabe que a probabilidade de alguém que faz trilha nessa montanha se perder na floresta é 2 / 3, enquanto a probabilidade de se perder na caverna é 1 / 3. Sabe-se ainda que, se alguém se perder na floresta, a probabilidade de a equipe de resgate encontrá-la na floresta é de 40 \%, enquanto que, se alguém se perder na caverna, a probabilidade de a equipe de resgate encontrá-la na caverna é de 80 \%. Por fim, caso alguém se perca numa região e a equipe faça uma busca na outra região, a probabilidade de a equipe encontrá-la é 0%.
A equipe de resgate realizou n+1 buscas, sendo n na floresta e 1 na caverna, mas não encontrou Betinho em nenhuma delas. Sabendo disso, determine o menor valor inteiro positivo de \mathbf{n} para o qual a probabilidade de Betinho ter se perdido na caverna seja maior do que a probabilidade de Betinho ter se perdido na floresta.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Probabilidades a priori (peguei estes valores do enunciado):
    • Probabilidade de Betinho se perder na floresta: \dfrac{2}{3}.
    • Probabilidade de Betinho se perder na caverna: \dfrac{1}{3}.
  • Probabilidades de ser encontrado por busca na mesma região (peguei estes valores do enunciado):
    • Se perdido na floresta, probabilidade de ser encontrado em uma busca feita na floresta: 0,4.
    • Se perdido na caverna, probabilidade de ser encontrado em uma busca feita na caverna: 0,8.
  • Informação sobre buscas em regiões diferentes (peguei isso do enunciado):
    • Se alguém se perde numa região e a equipe busca somente na outra região, a probabilidade de encontrá-la é 0\%.
  • A equipe fez n+1 buscas: n buscas na floresta e 1 busca na caverna, e NÃO encontrou Betinho em nenhuma delas. Ou seja, o evento observado é “nenhuma busca teve sucesso”.
  • O que o enunciado pergunta:
    • Determinar o menor inteiro positivo n tal que, dado que nenhuma busca encontrou Betinho, a probabilidade de ele ter se perdido na caverna seja maior do que a probabilidade de ele ter se perdido na floresta.

Passo 2

Definindo eventos e calculando probabilidades condicionais necessárias.
  • Defino os eventos:
    • F: “Betinho se perdeu na floresta”.
    • C: “Betinho se perdeu na caverna”.
    • E: “ninguém encontrou Betinho em nenhuma das buscas (todas fracassaram)”.
  • Primeiro, calcular P(E\mid C), a probabilidade de não encontrar dada a hipótese que ele está na caverna.
    • Se ele está na caverna, as n buscas feitas na floresta não conseguem encontrá‑lo (o enunciado diz que procurar na outra região tem probabilidade 0\% de achar). Então essas buscas contribuem com probabilidade 1 de “não encontrar” (ou seja, garantido que não vão achar).
    • Há 1 busca na caverna, e cada busca na caverna encontra com probabilidade 0,8. Portanto a probabilidade de NÃO ser encontrado nessa única busca na caverna é 1-0,8=0,2.
    • Assim P(E\mid C)=0,2.
  • Agora, calcular P(E\mid F), a probabilidade de não encontrar dada a hipótese que ele está na floresta.
    • Se ele está na floresta, a busca única na caverna tem probabilidade 0 de encontrá‑lo, então ela sempre falha (contribui com fator 1 para “não encontrado”).
    • As n buscas na floresta, cada uma encontra com probabilidade 0,4. Assumimos que as buscas são independentes e com a mesma eficiência (modelagem usual em probleminhas deste tipo). Assim a probabilidade de nenhuma das n buscas na floresta encontrá‑lo é (1-0,4)^n=0,6^n.
    • Portanto P(E\mid F)=0,6^n.
(Aqui usei a ideia básica de probabilidade condicional e multiplicação de probabilidades para eventos independentes: quando dois testes independentes têm probabilidades de fracasso p_1 e p_2, a probabilidade de ambos fracassarem é p_1\cdot p_2.)

Passo 3

Usar Bayes e comparar as probabilidades posteriores.
  • Pelo Teorema de Bayes, a probabilidade posterior de ter se perdido na caverna dado que não o encontraram é
    P(C\mid E)=\frac{P\text{(C)}\,P(E\mid C)}{P(F)\,P(E\mid F)+P\text{(C)}\,P(E\mid C)}.
    (O denominador é a probabilidade total de E, obtida somando os contributos das duas hipóteses mutuamente exclusivas F e C.)
  • Queremos P(C\mid E) > P(F\mid E). Como P(F\mid E)=1-P(C\mid E), essa desigualdade é equivalente a P(C\mid E) > 1/2. Uma forma ainda mais direta é comparar os numeradores antes da normalização: P(C\mid E) > P(F\mid E) se, e somente se,
    P\text{(C)}\,P(E\mid C) > P(F)\,P(E\mid F),
    porque o denominador (soma positiva) é comum aos dois lados e pode ser ignorado para comparar as frações.
  • Substituindo os valores conhecidos:
    • P\text{(C)}=\dfrac{1}{3}, P(F)=\dfrac{2}{3},
    • P(E\mid C)=0,2, P(E\mid F)=0,6^n.
    A desigualdade fica
    \frac{1}{3}\cdot 0,2 \;>\; \frac{2}{3}\cdot 0,6^n.
  • Multiplico ambos os lados por 3 para simplificar:
    0,2 \;>\; 2\cdot 0,6^n.
  • Dividindo por 2:
    0,1 \;>\; 0,6^n,
    ou equivalentemente
    0,6^n < 0,1.

Passo 4

Resolver a desigualdade 0,6^n < 0,1 procurando o menor inteiro positivo n.
  • Uma maneira simples (sem logaritmos) é testar potências sucessivas de 0,6:
    • 0,6^1=0,6.
    • 0,6^2=0,36.
    • 0,6^3=0,216.
    • 0,6^4=0,1296.
    • 0,6^5=0,07776.
  • Comparando com 0,1:
    • Para n=4 temos 0,6^4=0,1296>0,1 → condição NÃO satisfeita.
    • Para n=5 temos 0,6^5=0,07776<0,1 → condição satisfeita.
  • Logo o menor inteiro positivo n que torna P(C\mid E) > P(F\mid E) é n=5.
  • (Cheque numérico rápido do posterior para n=5, só para confirmar):
    • Numerador comum para P(C\mid E): \dfrac{1}{3}\cdot 0,2=0,066\overline{6}.
    • Contribuição de F no denominador: \dfrac{2}{3}\cdot 0,6^5=\dfrac{2}{3}\cdot 0,07776=0,05184.
    • Denominador total: 0,05184+0,066\overline{6}\approx0,1185.
    • Assim P(C\mid E)\approx0,066\overline{6}/0,1185\approx0,563>0,5, confirmando que a caverna passa a ser mais provável.

Resposta

n=5

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