Questão 8. Seja A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right), em que I é a matriz identidade de ordem 2. Mostre que A^{2}=2 A.

Passo 1

O enunciado dá a matriz A e pede para mostrar uma igualdade envolvendo o quadrado dessa matriz. Informações dadas:
  • A matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
  • Pedido: mostrar que \,A^{2}=2A.]

Passo 2

Relembrando como multiplicar matrizes (passo-a-passo): se C=AB e A e B são matrizes 2\times2, o elemento de C na linha i e coluna j é dado pelo produto escalar da linha i de A com a coluna j de B:
c_{ij}=\sum_{k=1}^{2} a_{ik}\,b_{kj}.
Para calcular A^{2}=A\cdot A aplicamos essa regra tomando linhas de A e colunas de A.

Passo 3

Calcular o elemento (1,1) de A^{2}. Usando a definição:
(A^{2})_{11}=1\cdot1+1\cdot1=2.
Expliquei: peguei a linha 1 de A, que é (1,1), e a coluna 1 de A, que é \begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix}, e fiz o produto escalar.]

Passo 4

Calcular o elemento (1,2) de A^{2}. Novamente produto escalar da linha 1 de A com a coluna 2 de A:
(A^{2})_{12}=1\cdot1+1\cdot1=2.

Passo 5

Calcular os elementos da segunda linha. Para (2,1):
(A^{2})_{21}=1\cdot1+1\cdot1=2.
Para (2,2):
(A^{2})_{22}=1\cdot1+1\cdot1=2.
Aqui peguei a linha 2 de A, também (1,1), e fiz os produtos escalares com as colunas 1 e 2.

Passo 6

Juntando todos os elementos obtidos:
A^{2}=\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt]2 & 2\end{pmatrix}.
Agora escrevo 2A para comparar:
2A=2\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt]2 & 2\end{pmatrix}.
Como as duas matrizes são idênticas, temos A^{2}=2A.]

Passo 7

Observação alternativa (útil para entender por que isso acontece): escrevendo u=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix} tem-se A=uu^{T}. Então
A^{2}=(uu^{T})(uu^{T})=u(u^{T}u)u^{T}.
Como u^{T}u=1+1=2, segue A^{2}=2\,uu^{T}=2A. Esta forma mostra a razão algebraica do resultado de forma compacta.]

Resposta

A^{2}=2A

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