Questão 6: Você abre uma empresa. Depois de um tempo você vai analisar o saldo
da sua empresa, que é calculado em função do tempo
, em meses. Ao jogar os valores de saldo em um programa recebe com resposta a equação
. Considerando essa função dada, haverá algum tempo em que o saldo da empresa é negativo? Se sim, qual seria o tempo? E haverá algum tempo em que o saldo da empresa é positivo? Se sim, qual seria o tempo? Mostre as contas que validem sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá a função do saldo em função do tempo (em meses):
As perguntas são:
- Haverá algum tempo em que o saldo da empresa é negativo? Se sim, qual(is) tempo(s)?
- Haverá algum tempo em que o saldo da empresa é positivo? Se sim, qual(is) tempo(s)?
Informações relevantes fornecidas: a variávelrepresenta tempo em meses (portanto, faz sentido físico considerar ) e a função é um polinômio quadrático em .
Passo 2
Observação sobre o tipo de função e como isso nos ajuda a responder as perguntas:
é um polinômio quadrático da forma
com
,
,
.
Quando (aqui
) a parábola abre para cima; nesse caso o valor da função é negativo apenas entre as raízes reais (se existirem raízes distintas), e é positivo fora desse intervalo. Portanto precisamos encontrar as raízes reais de
para saber onde a função muda de sinal.
Quando
Passo 3
Apresentando a fórmula das raízes (fórmula quadrática) e o discriminante: para uma equação
as raízes são dadas por
onde
é o discriminante. Se
há duas raízes reais distintas; se
há uma raiz dupla; se
não há raízes reais.
Passo 4
Calculemos o discriminante com
,
,
:
Agora os cálculos passo a passo:
Como
temos duas raízes reais distintas. Observe que
.
Passo 5
Aplicando a fórmula das raízes:
Calculamos as duas raízes separadamente:
Portanto as raízes (zeros) da função são
e
. Em
e em
temos
.
Passo 6
Deduzindo os intervalos de sinal usando a orientação da parábola: como
a parábola abre para cima, logo
para
estritamente entre as raízes e
para
fora desse intervalo. Assim, sem considerar ainda a restrição física
,
Agora aplicando a restrição física
(tempo não negativo): os tempos válidos são
e
para saldo positivo, e
para saldo negativo. Nos pontos
e
temos exatamente
.
Passo 7
Para ficar mais intuitivo, confirmo com alguns valores:
Também o vértice da parábola (mínimo) está em
e
o que confirma que o saldo atinge um valor negativo mínimo entre
e
.
Resposta
Sim. O saldo é negativo para
(meses).\nSim. O saldo é positivo para
e para
(meses).