Questão 6: Você abre uma empresa. Depois de um tempo você vai analisar o saldo S da sua empresa, que é calculado em função do tempo t, em meses. Ao jogar os valores de saldo em um programa recebe com resposta a equação S(t)=3 t^{2}-39 t+66. Considerando essa função dada, haverá algum tempo em que o saldo da empresa é negativo? Se sim, qual seria o tempo? E haverá algum tempo em que o saldo da empresa é positivo? Se sim, qual seria o tempo? Mostre as contas que validem sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a função do saldo em função do tempo (em meses):
S(t)=3t^{2}-39t+66.
As perguntas são:
  1. Haverá algum tempo em que o saldo da empresa é negativo? Se sim, qual(is) tempo(s)?
  2. Haverá algum tempo em que o saldo da empresa é positivo? Se sim, qual(is) tempo(s)?
    Informações relevantes fornecidas: a variável t representa tempo em meses (portanto, faz sentido físico considerar t\ge 0) e a função S(t) é um polinômio quadrático em t.

Passo 2

Observação sobre o tipo de função e como isso nos ajuda a responder as perguntas: \,S(t) é um polinômio quadrático da forma \,S(t)=at^{2}+bt+c com a=3, b=-39, c=66.
Quando a>0 (aqui a=3>0) a parábola abre para cima; nesse caso o valor da função é negativo apenas entre as raízes reais (se existirem raízes distintas), e é positivo fora desse intervalo. Portanto precisamos encontrar as raízes reais de \,S(t) para saber onde a função muda de sinal.

Passo 3

Apresentando a fórmula das raízes (fórmula quadrática) e o discriminante: para uma equação at^{2}+bt+c=0 as raízes são dadas por
t=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde
\Delta=b^{2}-4ac
é o discriminante. Se \Delta>0 há duas raízes reais distintas; se \Delta=0 há uma raiz dupla; se \Delta<0 não há raízes reais.

Passo 4

Calculemos o discriminante com a=3, b=-39, c=66:
\Delta = b^{2}-4ac = (-39)^{2}-4\cdot 3\cdot 66.
Agora os cálculos passo a passo:
(-39)^{2}=1521,
4\cdot 3\cdot 66=12\cdot 66=792,
\Delta=1521-792=729.
Como \Delta=729>0 temos duas raízes reais distintas. Observe que \sqrt{729}=27.

Passo 5

Aplicando a fórmula das raízes:
t=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{39\pm 27}{2\cdot 3}=\frac{39\pm 27}{6}.
Calculamos as duas raízes separadamente:
t_{1}=\frac{39-27}{6}=\frac{12}{6}=2,
t_{2}=\frac{39+27}{6}=\frac{66}{6}=11.
Portanto as raízes (zeros) da função são t=2 e t=11. Em t=2 e em t=11 temos S(t)=0.

Passo 6

Deduzindo os intervalos de sinal usando a orientação da parábola: como a=3>0 a parábola abre para cima, logo S(t)<0 para t estritamente entre as raízes e S(t)>0 para t fora desse intervalo. Assim, sem considerar ainda a restrição física t\ge 0,
S(t)<0\quad\text{para}\quad 2<t<11,
S(t)>0\quad\text{para}\quad t<2\quad\text{ou}\quad t>11.
Agora aplicando a restrição física t\ge 0 (tempo não negativo): os tempos válidos são 0\le t<2 e t>11 para saldo positivo, e 2<t<11 para saldo negativo. Nos pontos t=2 e t=11 temos exatamente S(t)=0.

Passo 7

Para ficar mais intuitivo, confirmo com alguns valores:
S(0)=66>0\quad\text{(saldo positivo no início)},í
S(5)=3\cdot 5^{2}-39\cdot 5+66=75-195+66=-54<0\quad\text{(saldo negativo aos 5 meses)},
S(12)=3\cdot 12^{2}-39\cdot 12+66=432-468+66=30>0\quad\text{(saldo positivo aos 12 meses)}.
Também o vértice da parábola (mínimo) está em
t_{v}=-\frac{b}{2a}=\frac{39}{6}=\frac{13}{2}=6{,}5\\ \text{meses},
e
S\!\left(\tfrac{13}{2}\right)=-\frac{243}{4}=-60{,}75,
o que confirma que o saldo atinge um valor negativo mínimo entre 2 e 11.

Resposta

Sim. O saldo é negativo para 2<t<11 (meses).\nSim. O saldo é positivo para 0\le t<2 e para t>11 (meses).

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