Questão 3: Um biotério recebeu via doação 30 camundongos para realizar um experimento com radiação. O pesquisador quer saber quantos machos ele poderá ter para preparar os equipamentos e a logística das doses. Para responder alguns questionamentos, é importante saber a probabilidade de:
a) Não ter nenhum macho;

Passo 1

O enunciado diz que chegaram por doação 30 camundongos e pergunta, na parte (a), qual é a probabilidade de não ter nenhum macho.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Número total de camundongos: 30.
  • Evento pedido: “não ter nenhum macho” — isto é, ter 0 machos entre os 30 animais.

Passo 2

Vamos explicitar as suposições necessárias (sempre que o enunciado não dá mais detalhes, a prova costuma assumir isso):
  • Cada camundongo é, independentemente dos outros, macho ou fêmea. “Independentemente” significa que o sexo de um não altera a chance do sexo de outro.
  • A chance de um camundongo ser macho é igual à chance de ser fêmea, ou seja 50\%. Em notação, a probabilidade de sucesso (ser macho) será p=0{,}5.
    Se estás inseguro sobre essa suposição na prova real, normalmente o enunciado indicaria outra probabilidade; na falta disso, p=0{,}5 é o caso padrão.

Passo 3

Ferramenta matemática adequada (explicação didática): a situação de várias tentativas independentes com duas possibilidades (macho / fêmea) é modelada pela distribuição binomial. A fórmula da probabilidade de obter exatamente k sucessos (aqui: machos) em n testes é
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}(1-p)^{\,n-k}.
O que cada símbolo significa:
  • n é o número de testes/indivíduos (aqui n=30).
  • k é o número de sucessos que queremos (aqui k=0).
  • p é a probabilidade de sucesso em cada teste (aqui p=0{,}5).
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial, que conta de quantas formas podemos escolher quais k indivíduos são os sucessos entre os n. A fórmula do coeficiente é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) é o produto n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1. Por exemplo, 3!=3\cdot2\cdot1=6.
Pequeno exemplo concreto para fixar: se n=2 e p=0{,}5, a probabilidade de k=0 machos seria \binom{2}{0}(0{,}5)^0(0{,}5)^2 = 1\cdot1\cdot0{,}25=0{,}25.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso com n=30, k=0, p=0{,}5:
P(X=0)=\binom{30}{0}\,(0{,}5)^{0}\,(1-0{,}5)^{30}.
Agora simplificamos termos conhecidos: \binom{30}{0}=1 e (0{,}5)^{0}=1. Assim
P(X=0)=(0{,}5)^{30}.
Outra forma equivalente e exata é escrever
P(X=0)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{30}=\frac{1}{2^{30}}.

Passo 5

Podemos escrever o valor exato do denominador: 2^{30}=1073741824. Logo, a forma exata é
P(X=0)=\frac{1}{1073741824}.
Se quiseres uma aproximação decimal (útil para interpretar o quão pequena é a probabilidade), temos
P(X=0)=(0{,}5)^{30}\approx 9{,}313\times10^{-10},
o que em notação decimal é aproximadamente 0{,}0000000009313. Isso mostra que é uma probabilidade extremamente pequena.

Passo 6

Interpretação e dica de prova: a probabilidade de não haver nenhum macho entre 30 indivíduos quando cada um tem 50\% de chance de ser macho é praticamente zero — para efeitos práticos, quase impossível. Na prova, se pedirem cálculo exato, dá \left(\tfrac{1}{2}\right)^{30} ou \frac{1}{2^{30}}; se pedirem valor numérico, podes dar a aproximação científica acima. Se não tiveres calculadora, deixa como (0{,}5)^{30} ou \frac{1}{2^{30}}: é perfeitamente aceitável e mostra entendimento.

Resposta

\displaystyle P(\text{nenhum macho})=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{30}=\frac{1}{1073741824}\approx 9{,}313\times10^{-10}

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