Questão 3: Um biotério recebeu via doação 30 camundongos para realizar um experimento com radiação. O pesquisador quer saber quantos machos ele poderá ter para preparar os equipamentos e a logística das doses. Para responder alguns questionamentos, é importante saber a probabilidade de:
a) Não ter nenhum macho;
a) Não ter nenhum macho;
Passo 1
O enunciado diz que chegaram por doação
camundongos e pergunta, na parte (a), qual é a probabilidade de não ter nenhum macho.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Número total de camundongos:
. - Evento pedido: “não ter nenhum macho” — isto é, ter
machos entre os animais.
Passo 2
Vamos explicitar as suposições necessárias (sempre que o enunciado não dá mais detalhes, a prova costuma assumir isso):
- Cada camundongo é, independentemente dos outros, macho ou fêmea. “Independentemente” significa que o sexo de um não altera a chance do sexo de outro.
- A chance de um camundongo ser macho é igual à chance de ser fêmea, ou seja
. Em notação, a probabilidade de sucesso (ser macho) será .
Se estás inseguro sobre essa suposição na prova real, normalmente o enunciado indicaria outra probabilidade; na falta disso,é o caso padrão.
Passo 3
Ferramenta matemática adequada (explicação didática): a situação de várias tentativas independentes com duas possibilidades (macho / fêmea) é modelada pela distribuição binomial. A fórmula da probabilidade de obter exatamente
sucessos (aqui: machos) em
testes é
O que cada símbolo significa:
-
é o número de testes/indivíduos (aqui ). -
é o número de sucessos que queremos (aqui ). -
é a probabilidade de sucesso em cada teste (aqui ). -
é o coeficiente binomial, que conta de quantas formas podemos escolher quais indivíduos são os sucessos entre os . A fórmula do coeficiente é
onde
(fatorial) é o produto
. Por exemplo,
.
Pequeno exemplo concreto para fixar: se
e
, a probabilidade de
machos seria
.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso com
,
,
:
Agora simplificamos termos conhecidos:
e
. Assim
Outra forma equivalente e exata é escrever
Passo 5
Podemos escrever o valor exato do denominador:
. Logo, a forma exata é
Se quiseres uma aproximação decimal (útil para interpretar o quão pequena é a probabilidade), temos
o que em notação decimal é aproximadamente
. Isso mostra que é uma probabilidade extremamente pequena.
Passo 6
Interpretação e dica de prova: a probabilidade de não haver nenhum macho entre
indivíduos quando cada um tem
de chance de ser macho é praticamente zero — para efeitos práticos, quase impossível. Na prova, se pedirem cálculo exato, dá
ou
; se pedirem valor numérico, podes dar a aproximação científica acima. Se não tiveres calculadora, deixa como
ou
: é perfeitamente aceitável e mostra entendimento.