Questão 3: Um biotério recebeu via doação 30 camundongos para realizar um experimento com radiação. O pesquisador quer saber quantos machos ele poderá ter para preparar os equipamentos e a logística das doses. Para responder alguns questionamentos, é importante saber a probabilidade de:
c) Ter no mínimo 7 machos;

Passo 1

O problema pergunta a probabilidade de, numa doação de 30 camundongos, termos pelo menos 7 machos. Informações relevantes (que eu vou assumir porque é o caso mais comum neste tipo de exercício):
  • Número total de camundongos: n=30.
  • Queremos a probabilidade de “pelo menos 7 machos”, isto é o evento \{X\ge 7\} onde X é o número de machos.
  • Vou considerar que cada camundongo tem probabilidade igual de ser macho ou fêmea e que os sexos são independentes, portanto p=0,5 para ser macho (assunção padrão quando não informam outra coisa).

Passo 2

Modelo probabilístico e fórmula básica (aula rápida, sem medo):
  • Quando temos um número fixo n de tentativas independentes e cada tentativa tem probabilidade p de “sucesso” (aqui sucesso = indivíduo macho), o número de sucessos X segue a distribuição binomial.
  • Escrevemos X\sim\mathrm{Bin}(n,p). No nosso caso X\sim\mathrm{Bin}(30,0,5).
  • A probabilidade de exatamente k machos é dada por
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{\,n-k},
onde \binom{n}{k} (lê-se “n escolhe k”) é o número de combinações de escolher k itens dentre n. Explico \binom{n}{k} rapidamente:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
ou, na prática, multiplicando e dividindo para evitar lidar direta com fatoriais absurdos.

Passo 3

Estratégia prática para calcular P(X\ge 7):
  • É muito mais simples usar o complementar:
P(X\ge 7)=1-P(X\le 6).
  • Então vamos calcular P(X\le 6)=\sum_{k=0}^{6} P(X=k). Como p=0,5, cada P(X=k)=\binom{30}{k}(0,5)^{30} (porque p^{k}(1-p)^{30-k}=(0,5)^{k}(0,5)^{30-k}=(0,5)^{30}). Ou seja todos os termos compartilham o mesmo fator (0,5)^{30}, então fica fácil somar só os \binom{30}{k}.

Passo 4

Cálculo das combinações \binom{30}{k} para k=0,1,\dots,6 (mostrando como calcular passo a passo):
  • \displaystyle \binom{30}{0}=1.
  • \displaystyle \binom{30}{1}=30. (obvio: 30 formas de escolher 1)
  • \displaystyle \binom{30}{2}=\frac{30\cdot29}{2}=435.
  • \displaystyle \binom{30}{3}=\frac{30\cdot29\cdot28}{3\cdot2\cdot1}=\frac{24360}{6}=4060.
  • \displaystyle \binom{30}{4}=\frac{30\cdot29\cdot28\cdot27}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=\frac{657720}{24}=27405.
  • \displaystyle \binom{30}{5}=\frac{30\cdot29\cdot28\cdot27\cdot26}{5!}=\frac{17100720}{120}=142506.
  • \displaystyle \binom{30}{6}=\frac{30\cdot29\cdot28\cdot27\cdot26\cdot25}{6!}=593775.
(Se você fizer isso na prova, calcule cada combinação com multiplicações e divisões sucessivas como mostrei — evita escrever fatoriais enormes.)

Passo 5

Somando os coeficientes e calculando P(X\le 6):
  • Primeiro somamos as combinações:
\begin{aligned} \sum_{k=0}^{6}\binom{30}{k} &=1+30+435+4060+27405+142506+593775 \\\ &=768212. \end{aligned}
  • Como cada termo P(X=k)=\binom{30}{k}(0,5)^{30}, temos
P(X\le 6)=\left(\sum_{k=0}^{6}\binom{30}{k}\right)(0,5)^{30} =768212\cdot(0,5)^{30}.
  • Observação útil: (0,5)^{30}=\dfrac{1}{2^{30}} e 2^{30}=1073741824. Portanto
P(X\le 6)=\frac{768212}{1073741824}\approx 0,0007154531777.

Passo 6

Complemento e interpretação final:
  • Então
P(X\ge 7)=1-P(X\le 6)=1-\frac{768212}{1073741824}\approx 0,9992845468223.
  • Interpretação intuitiva: com 30 camundongos e p=0,5, é extremamente provável ter pelo menos 7 machos (praticamente certeza — porque a média é np=15 machos e 7 é bem abaixo da média).

Resposta

P(\text{no mínimo 7 machos})=1-\sum_{k=0}^{6}\binom{30}{k}(0,5)^{30}\approx 0,9992845468223í

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