Questão 2

Um bloco com massa m=0,300 \mathrm{~kg} é preso a uma extremidade de uma mola ideal e move-se sobre uma superfície horizontal sem atrito. A outra extremidade da mola é presa a uma parede. Quando o bloco está em x=+0,240 \mathrm{~m}, sua aceleração é a=-8,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e sua velocidade é v=+4,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Quais são:
a) a constante de força da mola k ;
b) a amplitude do movimento;
c) a velocidade máxima do bloco durante seu movimento e a(s) posição(ões) em que ocorre(m).;
d) o módulo máximo da aceleração do bloco durante seu movimento e a(s) posição(ões) em que ocorre(m).

Passo 1

O enunciado descreve um bloco de massa m=0,300,\mathrm{kg} preso a uma mola ideal, movendo‐se em MHS horizontal sem atrito. No instante em que x=+0,240,\mathrm{m}, sua velocidade é v=+4,00,\mathrm{m/s} e sua aceleração é a=-8,0,\mathrm{m/ s^2}. Precisamos encontrar:
(a) a constante elástica k;
(b) a amplitude A;
(c) a velocidade máxima v_{\max} e onde ocorre;
(d) o módulo máximo da aceleração |a|_{\max} e onde ocorre.

Passo 2

Usando a segunda lei de Newton e a força da mola, temos
m\,a = -\,k\,x
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k = -\frac{m\,a}{x}.
Substituindo m=0{,}300,\mathrm{kg}, a=-8{,}0,\mathrm{m/ s^2}, x=0{,}240,\mathrm{m},
k = -\frac{0{,}300\cdot(-8{,}0)}{0{,}240} = \frac{2{,}40}{0{,}240} = 10\\ \mathrm{N/m}.

Passo 3

A energia mecânica total no MHS é
E = \tfrac12\,m\,v^2 + \tfrac12\,k\,x^2.
Calculando,
E = \tfrac12\cdot0{,}300\cdot(4{,}00)^2 + \tfrac12\cdot10\cdot(0{,}240)^2 = 2{,}4 + 0{,}288 = 2{,}688\\ \mathrm{J}.
Como E = \tfrac12\,k\,A^2, segue
A = \sqrt{\frac{2E}{k}} = \sqrt{\frac{2\cdot2{,}688}{10}} = 0{,}733\\ \mathrm{m}.

Passo 4

A frequência angular é
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{10}{0{,}300}} = 5{,}774\\ \mathrm{rad/s}.
No MHS, a velocidade máxima é
v_{\max} = \omega\,A = 5{,}774\cdot0{,}733 = 4{,}24\\ \mathrm{m/s},
e ocorre na posição de equilíbrio x=0.

Passo 5

O módulo máximo da aceleração é
|a|_{\max} = \omega^2\,A = \frac{k}{m}\,A = \frac{10}{0{,}300}\cdot0{,}733 = 24{,}4\\ \mathrm{m/s^2},
e ocorre nas extremidades x=\pm A, i.e.\ x=\pm0{,}733,\mathrm{m}.

Resposta

(a) k = 10\\ \mathrm{N/m}
(b) A = 0,733\\ \mathrm{m}
(c) v_{\max} = 4,24\\ \mathrm{m/s} em x = 0
(d) \lvert a\rvert_{\max} = 24,4\\ \mathrm{m/s^2} em x = \pm0,733\\ \mathrm{m}

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