Questão 1

Um pequeno bloco está preso a uma mola ideal e movese em MHS sobre uma superfície horizontal sem atrito. Quando a amplitude do movimento é 0,10 \mathrm{~m}, o bloco leva 2,0 \mathrm{~s} para passar de x=0,10 \mathrm{~m} para x=-0,10 \mathrm{~m}. Se a amplitude for alterada para 0,08 \mathrm{~m}, quanto tempo levará para o bloco passar
a) de x=0,08 \mathrm{~m} para x=-0,08 \mathrm{~m};
b) de x=0,04 \mathrm{~m} para x=-0,04 \mathrm{~m} ?

Passo 1

O enunciado descreve um bloco em movimento harmônico simples (MHS) preso a uma mola ideal sem atrito. Quando a amplitude é A_1=0,10,m, o tempo para ir de x=+A_1 a x=-A_1 é 2{,}0,s. Como queremos saber, para a nova amplitude A_2=0,08,m:
a) o tempo de x=+A_2 a x=-A_2;
b) o tempo de x=+0,04,m a x=-0,04,m.

Passo 2

Em MHS o período T independe da amplitude. Sabe-se que o intervalo de +A_1 a -A_1 corresponde a metade do período:
\frac{T}{2} = 2{,}0\\ \mathrm{s} \quad\Longrightarrow\quad T = 4{,}0\\ \mathrm{s}.
A pulsação é
\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4{,}0} = \frac{\pi}{2}\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 3

Para a parte (a), mesmo com amplitude A_2=0,08,m, o tempo de x=+A_2 a x=-A_2 continua sendo metade do período:
\Delta t_a = \frac{T}{2} = 2{,}0\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Para a parte (b), usamos a função de posição
x(t) = A_2 \cos(\omega t)
e queremos o intervalo entre \,x=+0,04,m e \,x=-0,04,m.
Como \cos\theta = x/A_2, temos
\cos\theta_1 = \frac{0,04}{0,08} = 0,5 \quad\Longrightarrow\quad \theta_1 = \frac{\pi}{3},
\cos\theta_2 = \frac{-0,04}{0,08} = -0,5 \quad\Longrightarrow\quad \theta_2 = \frac{2\pi}{3}.
A diferença de fase é
\Delta\theta = \theta_2 - \theta_1 = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3},
logo o tempo pedido é
\Delta t_b = \frac{\Delta\theta}{\omega} = \frac{\pi/3}{\pi/2} = \frac{2}{3}\\ \mathrm{s} \approx 0{,}67\\ \mathrm{s}.

Resposta

a) 2{,}0\\ \mathrm{s}
b) 0{,}67\\ \mathrm{s}

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