Questão 2 Encontre a solução geral da EDO homogènea
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea
Informações fornecidas importantes:
- A equação é homogênea (lado direito igual a zero).
- Os coeficientes são funções de
: há um termo com multiplicando , um termo com multiplicando e um termo constante multiplicando . - O domínio é
.
A pergunta única é: qual é a solução geraldessa equação?
Passo 2
Decidindo o método (explicação curta e intuitiva): olhe os coeficientes
e a constante. Quando os coeficientes são potências de
com graus compatíveis (a ordem
para
, ordem
para
, etc.), uma técnica prática e direta é tentar uma solução do tipo
. Isso transforma a EDO numa equação algébrica para
— se funcionar, é rápido na prova. Vou usar esse método porque é o mais simples aqui e leva direto à solução geral.
Passo 3
Teste a forma
. Primeiro calcule as derivadas necessárias (explicando cada passo):
Agora substituímos na equação:
Simplificando cada termo (repare que as potências de
se alinham):
Colocando em evidência
(que é não nulo para
):
Como
em
, obtemos a equação algébrica para
(chamada equação indicial):
Passo 4
Resolva a equação indicial. Primeiro expanda e simplifique:
É uma equação quadrática. Calcule o discriminante
:
Como
, há duas raízes reais distintas:
Logo as raízes são
Quando a equação indicial tem duas raízes reais distintas
e
, a forma geral da solução é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Aplicando o resultado ao nosso caso: com
e
, a solução geral candidata é
É bom verificar rapidamente que cada termo realmente satisfaz a EDO (verificação direta, que também é um bom truque na prova).
Verificação para
:
Substituindo:
Ok.
Verificação para
:
Substituindo:
Ok. Assim
e
são soluções e são linearmente independentes em
, portanto a combinação linear dada é a solução geral.