Questão 2 Encontre a solução geral da EDO homogènea
x^{2} y^{\prime \prime}+4 x y^{\prime}+2 y=0, \quad x>0 .

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea
x^{2}y^{\prime\prime}+4x y^{\prime}+2y=0,\quad x>0.
Informações fornecidas importantes:
  • A equação é homogênea (lado direito igual a zero).
  • Os coeficientes são funções de x: há um termo com x^{2} multiplicando y^{\prime\prime}, um termo com x multiplicando y^{\prime} e um termo constante multiplicando y.
  • O domínio é x>0.
    A pergunta única é: qual é a solução geral y(x) dessa equação?

Passo 2

Decidindo o método (explicação curta e intuitiva): olhe os coeficientes \,x^{2},\,x,\, e a constante. Quando os coeficientes são potências de x com graus compatíveis (a ordem 2 para y^{\prime\prime}, ordem 1 para y^{\prime}, etc.), uma técnica prática e direta é tentar uma solução do tipo y=x^{m}. Isso transforma a EDO numa equação algébrica para m — se funcionar, é rápido na prova. Vou usar esse método porque é o mais simples aqui e leva direto à solução geral.

Passo 3

Teste a forma y=x^{m}. Primeiro calcule as derivadas necessárias (explicando cada passo):
y = x^{m},
y^{\prime} = m x^{m-1}\quad\text{(regra de potência: derivada de \(x^{m}\) é \(m x^{m-1}\))},êé
y^{\prime\prime} = m(m-1) x^{m-2}\quad\text{(derivando novamente)}.
Agora substituímos na equação:
x^{2}\big(m(m-1)x^{m-2}\big)+4x\big(m x^{m-1}\big)+2\big(x^{m}\big)=0.
Simplificando cada termo (repare que as potências de x se alinham):
m(m-1)x^{m}+4m x^{m}+2 x^{m}=0.
Colocando em evidência x^{m} (que é não nulo para x>0):
\big(m(m-1)+4m+2\big)x^{m}=0.
Como x^{m}\neq0 em x>0, obtemos a equação algébrica para m (chamada equação indicial):
m(m-1)+4m+2=0.

Passo 4

Resolva a equação indicial. Primeiro expanda e simplifique:
m^{2}-m+4m+2=m^{2}+3m+2=0.
É uma equação quadrática. Calcule o discriminante \Delta:
\Delta = 3^{2}-4\cdot1\cdot2=9-8=1.
Como \Delta=1>0, há duas raízes reais distintas:
m=\frac{-3\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{-3\pm1}{2}.
Logo as raízes são
m_{1}=\frac{-3+1}{2}=-1,\qquad m_{2}=\frac{-3-1}{2}=-2.
Quando a equação indicial tem duas raízes reais distintas m_{1} e m_{2}, a forma geral da solução é
y(x)=C_{1}x^{m_{1}}+C_{2}x^{m_{2}},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 5

Aplicando o resultado ao nosso caso: com m_{1}=-1 e m_{2}=-2, a solução geral candidata é
y(x)=C_{1}x^{-1}+C_{2}x^{-2},\qquad x>0.
É bom verificar rapidamente que cada termo realmente satisfaz a EDO (verificação direta, que também é um bom truque na prova).
Verificação para y_{1}=x^{-1}:
y_{1}^{\prime}=-x^{-2},\qquad y_{1}^{\prime\prime}=2x^{-3}.
Substituindo:
x^{2}(2x^{-3})+4x(-x^{-2})+2(x^{-1})=2x^{-1}-4x^{-1}+2x^{-1}=0.
Ok.
Verificação para y_{2}=x^{-2}:
y_{2}^{\prime}=-2x^{-3},\qquad y_{2}^{\prime\prime}=6x^{-4}.
Substituindo:
x^{2}(6x^{-4})+4x(-2x^{-3})+2(x^{-2})=6x^{-2}-8x^{-2}+2x^{-2}=0.
Ok. Assim x^{-1} e x^{-2} são soluções e são linearmente independentes em (0,\infty), portanto a combinação linear dada é a solução geral.

Resposta

y(x)=C_{1}x^{-1}+C_{2}x^{-2},\qquad x>0.

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