Questão 2 - Buscando melhorar a qualidade do serviço, uma empresa estuda o tempo de atraso na entrega dos pedidos. O serviço de entrega é realizado por uma transportadora contratada que segundo reclamações de clientes, tem atrasado a entrega em pelo menos dois dias. A empresa deseja investigar se a proporção das entregas realizadas com atraso de pelo menos dois dias é maior que 50%, para tomar a decisão de contratar outra transportadora. Para isso, ela registrou o tempo de atraso de uma amostra aleatória de 40 pedidos, descritos abaixo (em dias):
\begin{aligned} & 510361023415316690010 \\\ & 321648113421356721110 \end{aligned}
a) Enuncie as hipóteses apropriadas para o teste, adote o nivel de significância de 5 \%.
b) Defina a região crítica
c) Qual a conclusão obtida com os dados da amostra coletada?

Passo 1

O enunciado pede testar se a proporção p de entregas com atraso de pelo menos dois dias é maior que 0,5. Temos uma amostra de n=40 pedidos e anotamos o número de atrasos de pelo menos dois dias. Para resolver isso, vamos usar o teste de hipótese para proporção com aproximação normal, pois n é grande o bastante.

Passo 2

As hipóteses são
H_{0}: p = 0,5
H_{1}: p > 0,5
queremos verificar se há evidência de que a proporção verdadeira excede 50\%.

Passo 3

O estatístico de teste, pela aproximação normal, é
Z \;=\;\frac{\hat p - p_{0}}{\sqrt{\dfrac{p_{0}(1 - p_{0})}{n}}}
em que p_{0}=0,5 e \hat p é a proporção observada na amostra.

Passo 4

Como o teste é unilateral à direita e o nível de significância é \alpha=0,05, a região crítica é
Z > z_{0,05} = 1,645.

Passo 5

Contamos na amostra quantos pedidos tiveram atraso \ge 2 dias. Esse total foi x=24.
Logo
\hat p = \frac{x}{n} = \frac{24}{40} = 0,60.
Calculamos
Z = \frac{0,60 - 0,5}{\sqrt{\tfrac{0,5\,(1-0,5)}{40}}} = \frac{0,10}{\sqrt{\tfrac{0,25}{40}}} = \frac{0,10}{0,0791} \approx 1,2649.
Como 1,2649 < 1,645, não caímos na região crítica.

Resposta

Não rejeitamos H_{0}. Não há evidência estatística ao nível de 5\% de que a proporção de entregas atrasadas em pelo menos dois dias seja maior que 50\%.

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