Questão 1:
(c) ( 0,5 pontos) O que significa dizer que um operador linear é diagonalizável?

Passo 1

O enunciado pede a definição de um operador linear diagonalizável. Estamos em Álgebra Linear e precisamos usar o conceito de matriz diagonal e o de base formada por autovetores para caracterizar quando um operador pode ser “colocado” numa forma diagonal.

Passo 2

Seja T\colon V \to V um operador linear em um espaço vetorial de dimensão finita n. Dizemos que T é diagonalizável se e somente se existir uma base \mathcal{B} = \{v_1,\dots,v_n\} de V composta por autovetores de T. Nessa base, a matriz de T fica diagonal, pois
T(v_i) = \lambda_i\,v_i
para cada i, e a representação matricial é
[T]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0\\\\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0\\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\\\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{pmatrix}.

Resposta

Um operador linear é diagonalizável se existe uma base de autovetores que forma V, de modo que sua matriz numa dessas bases seja diagonal.

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