Questão 2: Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma aplicação dada por T(x, y, z)=(x-2 y, z, x+y).
(a) (1,0 ponto) Mostre que T é uma transformação linear.
(b) (1,0 ponto) Determine [T]_{\beta}^{\alpha}, onde \alpha=\{(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)\} e \beta=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,2)\} são bases de \mathbb{R}^{3}.
(c) ( 0,5 pontos) Determine o núcleo de T.
(d) (1,0 ponto) T é um isomorfismo? Se sim, determine T^{-1} e \left[T^{-1}\right].
e pede:
(a) mostrar que T é linear;
(b) calcular a matriz [T]_{\beta}^{\alpha}, onde \alpha=\{(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)\} e \beta=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,2)\};
(c) encontrar \ker(T);
(d) decidir se T é isomorfismo e, em caso afirmativo, achar T^{-1} e sua matriz.
Passo 2
Para mostrar que T é linear, basta verificar que para quaisquer u=(x_1,y_1,z_1), v=(x_2,y_2,z_2) e escalar c vale
Logo T preserva soma e escalares, isto é, é transformação linear.
Passo 3
Para achar [T]_{\beta}^{\alpha} calculamos T nos vetores de \alpha e expressamos o resultado em coordenadas da base \beta.
v_1=(1,1,1) ⇒
T(1,1,1)=(-1,1,2).
Em \beta, (-1,1,2)=(-1)\,(1,0,0)+(1)\,(0,1,0)+(1)\,(0,0,2), pois 2\,(0,0,2)= (0,0,2)\cdot2. Logo as coordenadas são \bigl[-1,\,1,\,1\bigr]^T.
2) v_2=(0,1,1) ⇒
T(0,1,1)=(-2,1,1).
Em \beta: (-2,1,1)=(-2)\,(1,0,0)+(1)\,(0,1,0)+\tfrac12\,(0,0,2), coordenadas \bigl[-2,\,1,\,\tfrac12\bigr]^T.
3) v_3=(0,0,1) ⇒
T(0,0,1)=(0,1,0),
que em \beta é 0\,(1,0,0)+1\,(0,1,0)+0\,(0,0,2), coordenadas \bigl[0,\,1,\,0\bigr]^T.
Portanto
O núcleo é dado por T(x,y,z)=(0,0,0)\), isto é
\[\begin{cases} x-2y=0,\\\ z=0,\\\ x+y=0. \end{cases}
Da primeira x=2y\]; da terceira \(2y+y=0\implies y=0\implies x=0. Também z=0. Logo a única solução é (0,0,0) e
\ker(T)=\{(0,0,0)\}.
Passo 5
Como \ker(T)=\{0\}\) e \(\dim\mathbb{R}^3=3\), \(T\) é injetora e, por ter mesmo domínio e contradomínio finitos de mesma dimensão, é bijetora. Logo é isomorfismo.
Para achar \(T^{-1}\), seja \((u,v,w)=T(x,y,z)=(x-2y,\;z,\;x+y)\). Então \(z=v\) e
\[\begin{cases} u=x-2y,\\\ w=x+y. \end{cases}
Daí w-u=(x+y)-(x-2y)=3y\implies y=\tfrac{w-u}{3}\] e \(x=w-y=\tfrac{2w+u}{3}. Assim