Questão 3: Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} um operador linear dado por T(x, y, z)=(3 x-4 z, 3 y+5 z,-z).
(a) (0,5 pontos) Determine [T].
(b) ( 0,5 pontos) Determine o polinômio característico de T.
(c) ( 0,5 pontos) Determine, caso existam, os autovalores de T.
(d) ( 0,5 pontos) Determine, caso existam, os autovetores de T.
(e) (0,5 pontos) T é diagonalizável? Em caso afirmativo, exiba uma base \alpha de \mathbb{R}^{3} formada por autovetores e [T]_{\alpha}^{\alpha}.
Passo 1
O enunciado define o operador linear \,T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 dado por
T(x,y,z) = (\,3x - 4z,\;3y + 5z,\;-\,z\,).
Precisamos encontrar:
(a) a matriz de T na base canônica,
(b) o polinômio característico,
(c) os autovalores,
(d) os autovetores,
(e) verificar se T é diagonalizável e, em caso afirmativo, exibir uma base de autovetores e a matriz diagonal correspondente.
Passo 2
Para obter [T] na base canônica, calculamos as imagens de \,e_1=(1,0,0), \,e_2=(0,1,0) e \,e_3=(0,0,1):