Questão 7. Considere as seguintes afirmações:
(I) A equação diferencial y^2 d x+(x y+1) d y=0, y>0, não é exata, no entanto, ela possui um fator integrante que depende apenas de y, de modo que, usando este fator integrante, a equação é redutível a uma EDO exata, cuja solução é dada implicitamente por x^3 y^2+ln (y^2)=C.
(II) A equação y^prime-2 y=x^2 e^2 x não é linear, pois o coeficiente de y na equação é uma constante.
(III) Existe EDO simultaneamente de Bernoulli e separável.
(IV) É possível mostrar que a equação diferencial linear de 2a ordem, em Q=Q(t), dada por L Q^prime prime+ R Q^prime+1C Q=E é um modelo matemático que representa um circuito elétrico RLC (sendo as letras R a resistência, L a indutância e a C a capacitância), e, sendo E=E(t) a voltagem aplicada neste sistema.
Nestas condições, é correto afirmar que:
(a) apenas (I) é verdadeira
(b) apenas (II) e (IV) são verdadeiras
(c) todas as afirmações são verdadeiras
(d) apenas (I) é falsa
(e) (III) e (IV) são falsas
(f) nenhuma das alternativas anteriores

Passo 1

Resumindo, a questão pede para testar a veracidade de quatro afirmações sobre EDOs:
(I) exatidão e fator integrante dependente só de y;
(II) classificação como linear de y'-2y=x^2e^2x;
(III) existência de EDO que seja ao mesmo tempo de Bernoulli e separável;
(IV) o modelo LQ''+RQ'+tfrac1C,Q=E(t) representar um circuito RLC.

Passo 2

Analisando (I):
A EDO
y^2,dx+(xy+1),dy=0
tem
partial M/partial y=2y e partial N/partial x=y, não é exata. Um fator integrante mu(y) verifica
partial N/partial x-partial M/partial yM =y-2yy^2=-1y,
logo mu(y)=expl(integral-1/y,dyr)=1/y. Multiplicando obtemos
y,dx+l(x+1yr),dy=0,
que é exata. A solução implícita é
x,y+ln y=C,
e não x^3y^2+ln(y^2)=C. Portanto (I) é falsa.

Passo 3

Analisando (II):
A equação
y'-2y=x^2e^2x
está na forma padrão de uma EDO linear de 1ª ordem, ,y'+p(x)y=q(x), com p(x)=-2 (constante). Ter coeficiente constante não impede a linearidade. Logo (II) é falsa.

Passo 4

Analisando (III):
Uma equação de Bernoulli tem forma
y'+p(x)y=q(x)y^n, nneq0,1
Se escolhermos p(x)=0, fica
y'=q(x)y^n,
que é claramente separável. Logo existe EDO simultaneamente de Bernoulli e separável. Assim (III) é verdadeira.

Passo 5

Analisando (IV):
O modelo
L,Q''+R,Q'+1C,Q=E(t)
descreve exatamente a equação para a carga Q(t) num circuito RLC série sob tensão aplicada E(t). Logo (IV) é verdadeira.

Passo 6

Das quatro afirmações, (I) e (II) são falsas, (III) e (IV) são verdadeiras. Não há alternativa que corresponda a esse conjunto, portanto a resposta correta é a opção que diz “nenhuma das anteriores”.

Resposta

(f) nenhuma das alternativas anteriores

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