Questão 7. Considere as seguintes afirmações:
(I) A equação diferencial
, não é exata, no entanto, ela possui um fator integrante que depende apenas de
, de modo que, usando este fator integrante, a equação é redutível a uma EDO exata, cuja solução é dada implicitamente por
.
(II) A equação
não é linear, pois o coeficiente de
na equação é uma constante.
(III) Existe EDO simultaneamente de Bernoulli e separável.
(IV) É possível mostrar que a equação diferencial linear de 2a ordem, em
, dada por
é um modelo matemático que representa um circuito elétrico RLC (sendo as letras
a resistência,
a indutância e a
a capacitância), e, sendo
a voltagem aplicada neste sistema.
Nestas condições, é correto afirmar que:
(a) apenas (I) é verdadeira
(b) apenas (II) e (IV) são verdadeiras
(c) todas as afirmações são verdadeiras
(d) apenas (I) é falsa
(e) (III) e (IV) são falsas
(f) nenhuma das alternativas anteriores
(I) A equação diferencial
(II) A equação
(III) Existe EDO simultaneamente de Bernoulli e separável.
(IV) É possível mostrar que a equação diferencial linear de 2a ordem, em
(a) apenas (I) é verdadeira
(b) apenas (II) e (IV) são verdadeiras
(c) todas as afirmações são verdadeiras
(d) apenas (I) é falsa
(e) (III) e (IV) são falsas
(f) nenhuma das alternativas anteriores
Passo 1
Resumindo, a questão pede para testar a veracidade de quatro afirmações sobre EDOs:
(I) exatidão e fator integrante dependente só de ;
(II) classificação como linear de ;
(III) existência de EDO que seja ao mesmo tempo de Bernoulli e separável;
(IV) o modelo representar um circuito RLC.
(I) exatidão e fator integrante dependente só de
(II) classificação como linear de
(III) existência de EDO que seja ao mesmo tempo de Bernoulli e separável;
(IV) o modelo
Passo 2
Analisando (I):
A EDO
A EDO
tem
e
, não é exata. Um fator integrante
verifica
logo
. Multiplicando obtemos
que é exata. A solução implícita é
e não
. Portanto (I) é falsa.
Passo 3
Analisando (II):
A equação
A equação
está na forma padrão de uma EDO linear de 1ª ordem,
, com
(constante). Ter coeficiente constante não impede a linearidade. Logo (II) é falsa.
Passo 4
Analisando (III):
Uma equação de Bernoulli tem forma
Uma equação de Bernoulli tem forma
Se escolhermos
, fica
que é claramente separável. Logo existe EDO simultaneamente de Bernoulli e separável. Assim (III) é verdadeira.
Passo 5
Analisando (IV):
O modelo
O modelo
descreve exatamente a equação para a carga
num circuito RLC série sob tensão aplicada
. Logo (IV) é verdadeira.
Passo 6
Das quatro afirmações, (I) e (II) são falsas, (III) e (IV) são verdadeiras. Não há alternativa que corresponda a esse conjunto, portanto a resposta correta é a opção que diz “nenhuma das anteriores”.
Resposta
(f) nenhuma das alternativas anteriores