Questão 6. Defina equação de Cauchy-Euler. Em seguida, responda os itens a seguir, considerando a equação 2 x^2 y^prime prime-x y^prime-9 y=0, x neq 0.
(a) Usando o método de resolução de equações de Cauchy-Euler, encontre as soluções y1(x) e y2(x).
(b) Verifique que as funções y1(x) e y2(x) obtidas no item anterior, de fato, satisfazem a equação.
(c) Considerando que a função y1(x)=x^3 é solução da equação, use o método de d’Alembert para encontrar a outra solução y2(x).
(d) Compare os itens (a) e (c).
(e) Mostre que o conjunto y1(x), y2(x) forma um conjunto fundamental de soluções.
(f) Escreva a solução geral yh=c1 y1+c2 y2, para y1 e y2 obtidos nos itens (a) e (c). Em seguida, compare os resultados
(g) Considere a solução particular, c1=1 e c2=0 em yh. Agora, calcule yh(2).

Passo 1

O enunciado pede para definirmos o que é uma equação de Cauchy–Euler (ou equidimensional) e depois resolver a equação
2x^2y''-xy'-9y=0, xneq0
usando (a) o método direto de Cauchy–Euler, (b) verificando as soluções encontradas, (c) o método de d’Alembert (redução de ordem), e em seguida comparar, mostrar que formam conjunto fundamental, escrever a solução geral e calcular o caso particular em x=2.

Passo 2

(a) No método de Cauchy–Euler supomos
y=x^r
Então
y'=r,x^r-1, y''=r(r-1)x^r-2
Substituindo em
2x^2y''-xy'-9y=0
obtém-se a equação característica
2,r(r-1)-r-9=0 ;Longrightarrow; 2r^2-2r-r-9=0 ;Longrightarrow; 2r^2-3r-9=0
Resolvendo,
r=3pmraiz9+724=3pm94,
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r1=3, r2=-tfrac32
Daí as soluções fundamentais são
y1(x)=x^3, y2(x)=x^-3/2

Passo 3

(b) Verificação por substituição.
Para y1(x)=x^3:
y1'=3x^2, y1''=6x
2x^2(6x)-x(3x^2)-9(x^3) =12x^3-3x^3-9x^3=0
Para y2(x)=x^-3/2:
y2'=-tfrac32x^-5/2, y2''=tfrac154x^-7/2
2x^2l(tfrac154x^-7/2r) -xl(-tfrac32x^-5/2r) -9x^-3/2 = l(tfrac152+tfrac32-9r)x^-3/2=0

Passo 4

(c) No método de d’Alembert partimos de
y''+p(x)y'+q(x)y=0
com p(x)=-tfrac12x. Como y1=x^3, a segunda solução é
y2(x) =y1(x)integral e^-integral p,dxy1(x)^2,dx =x^3integral e^12ln|x|x^6,dx =x^3integral x^-11/2,dx propto x^-3/2,
o que, até constante multiplicativa, coincide com y2=x^-3/2.

Passo 5

(d) Comparando os itens (a) e (c), vemos que a solução nova obtida por d’Alembert é exatamente x^-3/2, igual àquela do método direto de Cauchy–Euler.

Passo 6

(e) Para mostrar que y1,y2 é conjunto fundamental calculamos o Wronskiano:
W(x)= x^3&x^-3/2 3x^2&-tfrac32x^-5/2 =-tfrac32x^3-5/2-3x^2-3/2 =-tfrac92x^1/2neq0 para xneq0

Passo 7

(f) Portanto a solução geral do homogêneo é
yh(x)=c1x^3+c2x^-3/2

Passo 8

(g) Tomando c1=1 e c2=0 em yh fica yh(x)=x^3, e assim
yh(2)=2^3=8

Resposta

(a) y1(x)=x^3, y2(x)=x^-3/2.
(b) Substituindo em 2x^2y''-xy'-9y dá zero em ambos.
(c) Redução de ordem dá y2(x)propto x^-3/2.
(d) Coincidem.
(e) W(x)=-tfrac92x^1/2neq0.
(f) yh=c1x^3+c2x^-3/2.
(g) Para c1=1,c2=0 temos yh(2)=8.

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