Questão 6. Defina equação de Cauchy-Euler. Em seguida, responda os itens a seguir, considerando a equação .
(a) Usando o método de resolução de equações de Cauchy-Euler, encontre as soluções e .
(b) Verifique que as funções e obtidas no item anterior, de fato, satisfazem a equação.
(c) Considerando que a função é solução da equação, use o método de d’Alembert para encontrar a outra solução .
(d) Compare os itens (a) e (c).
(e) Mostre que o conjunto forma um conjunto fundamental de soluções.
(f) Escreva a solução geral , para e obtidos nos itens (a) e (c). Em seguida, compare os resultados
(g) Considere a solução particular, e em . Agora, calcule .
Passo 1
O enunciado pede para definirmos o que é uma equação de Cauchy–Euler (ou equidimensional) e depois resolver a equação
usando (a) o método direto de Cauchy–Euler, (b) verificando as soluções encontradas, (c) o método de d’Alembert (redução de ordem), e em seguida comparar, mostrar que formam conjunto fundamental, escrever a solução geral e calcular o caso particular em .
Passo 2
(a) No método de Cauchy–Euler supomos
Então
Substituindo em
obtém-se a equação característica
Resolvendo,
logo
Daí as soluções fundamentais são
Passo 3
(b) Verificação por substituição.
Para :
Para :
Passo 4
(c) No método de d’Alembert partimos de
com . Como , a segunda solução é
o que, até constante multiplicativa, coincide com .
Passo 5
(d) Comparando os itens (a) e (c), vemos que a solução nova obtida por d’Alembert é exatamente , igual àquela do método direto de Cauchy–Euler.
Passo 6
(e) Para mostrar que é conjunto fundamental calculamos o Wronskiano:
Passo 7
(f) Portanto a solução geral do homogêneo é
yh(x)=c1x^3+c2x^-3/2
Passo 8
(g) Tomando c1=1 e c2=0 em yh fica yh(x)=x^3, e assim
yh(2)=2^3=8
Resposta
(a) y1(x)=x^3, y2(x)=x^-3/2.
(b) Substituindo em 2x^2y''-xy'-9y dá zero em ambos.
(c) Redução de ordem dá y2(x)propto x^-3/2.
(d) Coincidem.
(e) W(x)=-tfrac92x^1/2neq0.
(f) yh=c1x^3+c2x^-3/2.
(g) Para c1=1,c2=0 temos yh(2)=8.