Questão 7. Em cada caso a seguir, usando o critério adequado, estude quanto à convergência.
sumn=1^infty frac1n+sqrtn

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty1n+raizn
O conteúdo é séries numéricas e vamos usar o critério de comparação assintótica (ou critério da razão limite) com uma série p-série conhecida.

Passo 2

Observamos que, para n grande, o termo genérico
an = 1n+raizn
comporta-se como
1n+raiznsim1n,
pois raizn é de ordem menor que n. Então faz sentido comparar com a série harmônica
sumn=1^infty1n,
que é divergente.

Passo 3

Aplicamos o critério da razão limite, definindo
bn = 1n
Calculamos
limntoinftyanbn =limntoinfty1n+raizn1n =limntoinftynn+raizn =limntoinfty11+tfrac1raizn =1

Passo 4

Como
limntoinftyanbn=1in(0,infty)
e a série sum bn diverge (série harmônica), pelo critério de comparação por limite a série
sum an também diverge.

Resposta

A série
sumn=1^infty1n+raizn
diverge.

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