Questão 3) Para cada função a seguir, encontre a derivada:
Passo 1
O enunciado pede que se encontre a derivada da função
.
Informações relevantes dadas no enunciado:
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A função está escrita como composição: há um cosseno aplicado a
. - A expressão
não está definida em . Portanto a função só faz sentido para .
O objetivo é calcularpara os pontos onde a função está definida (ou seja, para ) e comentar sobre .
Passo 2
Ideia e ferramenta principal (explicada): regra da cadeia.
Regra da cadeia (explicação simples): se , onde
depende de
e
depende de
, então a derivada é
Regra da cadeia (explicação simples): se
Aqui
é a função externa (aplicada ao resultado de
) e
é a função interna. Essa regra diz: derivada da composição = derivada da externa avaliada na interna vezes derivada da interna. Cada símbolo:
-
é a derivada da função composta em relação a . -
é a derivada de em relação a , avaliada em . -
é a derivada de em relação a .
Passo 3
Identificar as funções externa e interna no problema:
- Função interna:
. - Função externa:
.
Agora vamos calcular separadamentee .
Passo 4
Derivada da função externa
: a regra básica para trigonometria é
Portanto
Passo 5
Derivada da função interna
: reescreve-se como potência para aplicar a regra do poder:
Regra do poder (explicação): se
então
. Aqui
, então
Portanto
para
.
Passo 6
Aplicar a regra da cadeia: usando
avaliado em
e multiplicando por
, obtemos
Multiplicando os sinais negativos:
Passo 7
Verificação curta (opcional, para ganhar confiança): calcular
também pela regra do quociente usando
. Com
e
,
que coincide com o que já obtivemos. Assim o resultado é consistente.
Passo 8
Observação sobre
: a função
não está definida em
(pois
não existe aí), logo não faz sentido falar de
. Portanto a derivada obtida vale apenas para
.