Questão 3) Para cada função a seguir, encontre a derivada:
f(x)=\cos \left(\frac{1}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede que se encontre a derivada da função
f(x)=\cos\!\left(\dfrac{1}{x}\right).
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A função está escrita como composição: há um cosseno aplicado a 1/x.
  • A expressão 1/x não está definida em x=0. Portanto a função f só faz sentido para x\neq0.
    O objetivo é calcular f'(x) para os pontos onde a função está definida (ou seja, para x\neq0) e comentar sobre x=0.

Passo 2

Ideia e ferramenta principal (explicada): regra da cadeia.
Regra da cadeia (explicação simples): se f(x)=g(u(x)), onde u depende de x e g depende de u, então a derivada é
f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x).
Aqui g é a função externa (aplicada ao resultado de u) e u é a função interna. Essa regra diz: derivada da composição = derivada da externa avaliada na interna vezes derivada da interna. Cada símbolo:
  • f'(x) é a derivada da função composta em relação a x.
  • g'(u(x)) é a derivada de g em relação a u, avaliada em u(x).
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x.

Passo 3

Identificar as funções externa e interna no problema:
  • Função interna: u(x)=\dfrac{1}{x}.
  • Função externa: g(u)=\cos(u).
    Agora vamos calcular separadamente g'(u) e u'(x).

Passo 4

Derivada da função externa g(u)=\cos(u): a regra básica para trigonometria é
\frac{d}{du}\cos(u)=-\sin(u).
Portanto
g'(u)=-\sin(u).

Passo 5

Derivada da função interna u(x)=\dfrac{1}{x}: reescreve-se como potência para aplicar a regra do poder:
u(x)=x^{-1}.
Regra do poder (explicação): se h(x)=x^{n} então h'(x)=n x^{n-1}. Aqui n=-1, então
u'(x)=\frac{d}{dx}x^{-1}=-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}}.
Portanto u'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}} para x\neq0.

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia: usando g'(u)=-\sin(u) avaliado em u(x)=\dfrac{1}{x} e multiplicando por u'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}, obtemos
f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x) = \big(-\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right)\big)\cdot\big(-\tfrac{1}{x^{2}}\big).
Multiplicando os sinais negativos:
f'(x)=\frac{\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)}{x^{2}} \qquad\text{para }x\neq0.

Passo 7

Verificação curta (opcional, para ganhar confiança): calcular u'(x) também pela regra do quociente usando u(x)=\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{x}. Com p(x)=1 e q(x)=x,
u'(x)=\frac{p'(x)q(x)-p(x)q'(x)}{q(x)^{2}}=\frac{0\cdot x-1\cdot 1}{x^{2}}=-\frac{1}{x^{2}},
que coincide com o que já obtivemos. Assim o resultado é consistente.

Passo 8

Observação sobre x=0: a função f não está definida em x=0 (pois 1/x não existe aí), logo não faz sentido falar de f'(0). Portanto a derivada obtida vale apenas para x\neq0.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)}{x^{2}},\quad x\neq0

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