Questão 1. Para cada item, calcule 4 passos do método da bisseção no intervalo dado para aproximar a solução da equação.
(d) \operatorname{tg} x-\ln x=0,[4,5]
n a_{n} x_{n} b_{n} f\left(a_{n}\right) f\left(x_{n}\right) f\left(b_{n}\right)
1
2
3
4 / / / / / / / / / / / /

Passo 1

O enunciado pede: aplicar o método da bisseção e calcular 4 passos para aproximar a solução da equação \tan x - \ln x = 0 no intervalo dado [4,5].
Informações dadas:
  • Equação: \tan x - \ln x = 0.
  • Intervalo inicial pedido: [4,5].
  • Objetivo: executar quatro iterações do método da bisseção, gerando as tuplas \big(a_n,\;x_n,\;b_n,\;f(a_n),\;f(x_n),\;f(b_n)\big) para n=1,2,3,4.

Passo 2

Relembrando o método da bisseção (fórmula e ideia):
  • Definimos a função \displaystyle f(x)=\tan x - \ln x.
  • Em cada iteração com um intervalo [a_n,b_n] sabemos que o ponto médio é
x_n=\frac{a_n+b_n}{2}.
  • Se f(a_n)\cdot f(x_n)<0, então a raiz está em [a_n,x_n] e tomamos a_{n+1}=a_n,\;b_{n+1}=x_n.
  • Se f(x_n)\cdot f(b_n)<0, então a raiz está em [x_n,b_n] e tomamos a_{n+1}=x_n,\;b_{n+1}=b_n.
  • O método exige que f seja contínua no intervalo usado e que f(a) e f(b) tenham sinais opostos.
Agora vamos verificar a situação em [4,5].
  • Primeiro, atenção: \tan x tem descontinuidades em x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi. Um desses pontos é
\frac{3\pi}{2}\approx 4,71238898,
que está dentro do intervalo [4,5]. Portanto \tan x (e, por consequência, f(x)) NÃO é contínua em todo [4,5]. O método da bisseção clássico pede continuidade no intervalo inteiro; assim, não podemos aplicar a bisseção diretamente em [4,5] como um todo.
  • Vamos, no entanto, explorar as partes à esquerda e à direita da descontinuidade. Calculamos os sinais em x=4 e em um ponto à esquerda do assíntota, por exemplo x=4,7 (porque 4{,}7<3\pi/2).
Cálculos iniciais (usei aproximações decimais):
\begin{aligned} f(4)&=\tan 4-\ln 4\approx 1{,}15782-1{,}38629\approx -0{,}22847,\\[4pt] f(4{,}7)&=\tan 4{,}7-\ln 4{,}7\approx 80{,}6500-1{,}54756\approx 79{,}1024. \end{aligned}
Conclusão: em [4,4{,}7] temos f(4)<0 e f(4{,}7)>0, logo há pelo menos uma raiz nesse subintervalo e podemos aplicar a bisseção nessa parte (lado esquerdo da assíntota). Vou portanto executar as quatro iterações da bisseção no intervalo [4,4{,}7] para aproximar a raiz à esquerda de x=\dfrac{3\pi}{2}.
Observação rápida sobre os cálculos de \tan: para x na vizinhança usada, reduzi o argumento por \tan(\pi+t)=\tan t quando útil e usei aproximações numéricas padrão para \sin,\cos a fim de obter \tan. Os logaritmos naturais \ln foram avaliados por aproximação numérica padrão. Todas as avaliações abaixo são aproximadas e mostradas com 4 casas decimais quando conveniente.]

Passo 3

Iteração n=1 com [a_1,b_1]=[4,4{,}7].
  • Calcular o ponto médio:
x_1=\frac{a_1+b_1}{2}=\frac{4+4{,}7}{2}=4{,}35.
  • Avaliar f nos três pontos (aproximações):
\begin{aligned} f(4)&\approx -0{,}22847,\\[2pt] f(4{,}35)&=\tan 4{,}35-\ln 4{,}35\approx 2{,}6520-1{,}4702\approx 1{,}1818,\\[2pt] f(4{,}7)&\approx 79{,}1024. \end{aligned}
  • Análise de sinais: f(4)<0 e f(4{,}35)>0. Portanto a raiz está em [4,4{,}35].
  • Atualização para a próxima iteração:
a_2=4,\qquad b_2=4{,}35.]

Passo 4

Iteração n=2 com [a_2,b_2]=[4,4{,}35].
  • Ponto médio:
x_2=\frac{4+4{,}35}{2}=4{,}175.
  • Avaliações aproximadas:
\begin{aligned} f(4)&\approx -0{,}22847 \quad(\text{reaproveitando}),\\[2pt] f(4{,}175)&=\tan 4{,}175-\ln 4{,}175\approx 1{,}6781-1{,}4291\approx 0{,}2490,\\[2pt] f(4{,}35)&\approx 1{,}1818. \end{aligned}
  • Análise de sinais: f(4)<0 e f(4{,}175)>0. Logo a raiz está em [4,4{,}175].
  • Atualização:
a_3=4,\qquad b_3=4{,}175.]

Passo 5

Iteração n=3 com [a_3,b_3]=[4,4{,}175].
  • Ponto médio:
x_3=\frac{4+4{,}175}{2}=4{,}0875.
  • Avaliações aproximadas:
\begin{aligned} f(4)&\approx -0{,}22847,\\[2pt] f(4{,}0875)&=\tan 4{,}0875-\ln 4{,}0875\approx 1{,}3830-1{,}4079\approx -0{,}0249,\\[2pt] f(4{,}175)&\approx 0{,}2490. \end{aligned}
  • Análise de sinais: f(4{,}0875)<0 e f(4{,}175)>0. Portanto a raiz está em [4{,}0875,4{,}175].
  • Atualização:
a_4=4{,}0875,\qquad b_4=4{,}175.]

Passo 6

Iteração n=4 com [a_4,b_4]=[4{,}0875,4{,}175].
  • Ponto médio:
x_4=\frac{4{,}0875+4{,}175}{2}=4{,}13125.
  • Avaliações aproximadas:
\begin{aligned} f(4{,}0875)&\approx -0{,}0249,\\[2pt] f(4{,}13125)&=\tan 4{,}13125-\ln 4{,}13125\approx 1{,}5220-1{,}4186\approx 0{,}1034,\\[2pt] f(4{,}175)&\approx 0{,}2490. \end{aligned}
  • Análise de sinais: f(4{,}0875)<0 e f(4{,}13125)>0. Então, após a quarta iteração, a raiz está em [4{,}0875,4{,}13125].
Observação final sobre precisão: todas as avaliações são aproximações decimais (arredondadas a 4 casas decimais onde mostrei). O método da bisseção garante que após 4 iterações a raiz real está dentro do último intervalo obtido; para maior precisão bastaria continuar as iterações.]

Resposta

n=1: a_1=4,\;x_1=4{,}35,\;b_1=4{,}7,\;f(a_1)\approx -0{,}2285,\;f(x_1)\approx 1{,}1818,\;f(b_1)\approx 79{,}1024
n=2: a_2=4,\;x_2=4{,}175,\;b_2=4{,}35,\;f(a_2)\approx -0{,}2285,\;f(x_2)\approx 0{,}2490,\;f(b_2)\approx 1{,}1818
n=3: a_3=4,\;x_3=4{,}0875,\;b_3=4{,}175,\;f(a_3)\approx -0{,}2285,\;f(x_3)\approx -0{,}0249,\;f(b_3)\approx 0{,}2490
n=4: a_4=4{,}0875,\;x_4=4{,}13125,\;b_4=4{,}175,\;f(a_4)\approx -0{,}0249,\;f(x_4)\approx 0{,}1034,\;f(b_4)\approx 0{,}2490

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