Questão 1. Para cada item, calcule 4 passos do método da bisseção no intervalo dado para aproximar a solução da equação.
(d)
1
2
3
4
(d)
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1 | ||||||
| 2 | ||||||
| 3 | ||||||
| 4 |
|
|
|
Passo 1
O enunciado pede: aplicar o método da bisseção e calcular 4 passos para aproximar a solução da equação
no intervalo dado
.
Informações dadas:
- Equação:
. - Intervalo inicial pedido:
. - Objetivo: executar quatro iterações do método da bisseção, gerando as tuplas
para .
Passo 2
Relembrando o método da bisseção (fórmula e ideia):
- Definimos a função
. - Em cada iteração com um intervalo
sabemos que o ponto médio é
- Se
, então a raiz está em e tomamos . - Se
, então a raiz está em e tomamos . - O método exige que
seja contínua no intervalo usado e que e tenham sinais opostos.
Agora vamos verificar a situação em
.
- Primeiro, atenção:
tem descontinuidades em . Um desses pontos é
que está dentro do intervalo
. Portanto
(e, por consequência,
) NÃO é contínua em todo
. O método da bisseção clássico pede continuidade no intervalo inteiro; assim, não podemos aplicar a bisseção diretamente em
como um todo.
- Vamos, no entanto, explorar as partes à esquerda e à direita da descontinuidade. Calculamos os sinais em
e em um ponto à esquerda do assíntota, por exemplo (porque ).
Cálculos iniciais (usei aproximações decimais):
Conclusão: em
temos
e
, logo há pelo menos uma raiz nesse subintervalo e podemos aplicar a bisseção nessa parte (lado esquerdo da assíntota). Vou portanto executar as quatro iterações da bisseção no intervalo
para aproximar a raiz à esquerda de
.
Observação rápida sobre os cálculos de
: para
na vizinhança usada, reduzi o argumento por
quando útil e usei aproximações numéricas padrão para
a fim de obter
. Os logaritmos naturais
foram avaliados por aproximação numérica padrão. Todas as avaliações abaixo são aproximadas e mostradas com 4 casas decimais quando conveniente.]
Passo 3
Iteração
com
.
- Calcular o ponto médio:
- Avaliar
nos três pontos (aproximações):
- Análise de sinais:
e . Portanto a raiz está em . - Atualização para a próxima iteração:
Passo 4
Iteração
com
.
- Ponto médio:
- Avaliações aproximadas:
- Análise de sinais:
e . Logo a raiz está em . - Atualização:
Passo 5
Iteração
com
.
- Ponto médio:
- Avaliações aproximadas:
- Análise de sinais:
e . Portanto a raiz está em . - Atualização:
Passo 6
Iteração
com
.
- Ponto médio:
- Avaliações aproximadas:
- Análise de sinais:
e . Então, após a quarta iteração, a raiz está em .
Observação final sobre precisão: todas as avaliações são aproximações decimais (arredondadas a 4 casas decimais onde mostrei). O método da bisseção garante que após 4 iterações a raiz real está dentro do último intervalo obtido; para maior precisão bastaria continuar as iterações.]
Resposta
n=1:
n=2:
n=3:
n=4: